Вакарчук І.О. Квантова механіка

k+k′6=0

Пiдставляючи цей вираз у гамiльтонiан ˆ i беручи до уваги озна-

H

чення величини ρk, маємо:

Перше, що впадає тут у вiчi, це те, що гамiльтонiан у ρk-

представленнi є неермiтовим перший доданок у перших круглих дужках. Це й не дивно, оскiльки перехiд вiд декартових координат (r1, . . . , rN ) до змiнних ρk не є унiтарним. Це очевидно хоча б з того, що кiлькiсть декартових змiнних дорiвнює DN (D вимiрнiсть простору), а кiлькiсть ρk-змiнних є безмежною, тому що, як ми знаємо, кожна з компонент вектора k (який нумерує величини ρk) перебiгає безмежну кiлькiсть значень, кратних до 2π/L, LD = V . Отже, серед змiнних ρk є зайвi. Вивчимо докладнiше це

питання8.

8Уперше цей метод “зайвих змiнних” застосували до розв’язку рiвняння

Шрединґера М. Боголюбов i Д. Зубарєв у 1955 роцi (ЖЭТФ, 1955, 28, с. 129).

731

Насамперед, як видно з означення, змiннi ρk є комплексними

величинами:

ρk = ρck − iρsk,

декс (−k). Це означає, що потрiбно враховувати лише величини ρk з iндексами k з пiвпростору їх можливих значень. Але й цих змiнних забагато. Тому перехiд до ρk-представлення повинен вiдбуватись iз деякою ваговою функцiєю J, що залежить вiд величин ρk i ефективно зменшуватиме до потрiбного рiвня роль

“зайвих” змiнних ρ , зокрема зробить рiвними об’єми конфiгура-

Rk R

цiйного простору dr1 . . . drN = V N та ρk-простору:

iнтеґрування тут вiдбувається за дiйсними й уявними частинами величин ρk, причому до уваги беремо лише пiвпростiр значень k, що й позначено штрихом над символом добутку за k. Можемо говорити про функцiю J як про якобiан переходу вiд сукупностi декартових координат (r1, . . . , rN ) до сукупностi ρk-змiнних. Хвильовi функцiї нашої системи ψ в ρk-представленнi також нор-

муються з вагою:

√√

732

Уведемо тепер шрединґерiвськi хвильовi функцiї, якi нормуємо вже без вагової функцiї, тобто “справжнi” хвильовi функцiї

Для цих нових функцiй рiвняння Шрединґера,

HJˆ −1/2ψ¯ = EJ−1/2ψ,¯

пiсля множення злiва на J1/2 є таким:

ˆ ′ ¯ ¯

H ψ = Eψ,

де новий гамiльтонiан

Hˆ ′ = J1/2HJˆ −1/2

вже повинен бути ермiтовим у звичайному сенсi. Принагiдно зауважимо, що таку ж процедуру ермiтизацiї гамiльтонiана частинки у представленнi сферичних координат ми застосували в при-

кладi до §39, де знайдено гамiльтонiан ˆ ′ i попутно обчислено

H

якобiан переходу вiд декартових до сферичних координат.

733

де неермiтова частина гамiльтонiана, яка породжена оператором кiнетичної енерґiї,

0 i звiдси знайдемо рiвняння, яке повинна задовольняти вагова функцiя J:

k+k′6=0

Разом iз виписаною вище умовою рiвностi об’ємiв конфiгурацiйного простору та ρk-простору (умова нормування для J) це рiвняння повнiстю визначає вагову функцiю J.

Знайдене рiвняння для ln J дає змогу значно спростити га-

мiльтонiан ˆ ′. Справдi, враховуємо в ˆ ′ другий i третiй доданки

H H

у квадратних дужках пiд знаком двох сум за k та k′ й виконуємо

734

Друга рiвнiсть тут отримана завдяки рiвнянню для ln J. Пiдстав-

ляючи цей вираз у ˆ ′, бачимо, що багато доданкiв взаємно ско-

H

рочуються i в результатi:

Будемо розв’язувати рiвняння для J методом послiдовних на-

ближень, формально приймаючи, що останнiй член у ньому iз сумою за k′ є пропорцiйним деякому малому параметровi. В ну-

льовому наближеннi маємо:

∂ ln J

ρk + ∂ρ−k = 0.

Звiдси, iнтеґруючи, одержуємо

1 X

ln J = ln C − 2 q=06 ρqρ−q,

Cстала, яку потрiбно знайти з умови нормування для J.

Унаступному наближеннi пiдставляємо цей вираз ln J в остан-

нiй доданок вихiдного рiвняння i знаходимо

k+k′6=0

735

Нехитрими перетвореннями легко показати, що останнiй доданок:

Справдi, якщо в ньому зробити замiну змiнної пiдсумовування k′ на k′′ = −k − k′ i зауважити, що оскiльки (kk′)/k2 = −k(k + k′′)/k2 = −1−(kk′′)/k2, то вiн розпадається на два доданки, з яких

другий знову дорiвнює вихiдному виразу зi знаком мiнус. Звiдси (з перепозначеннями k′ = −q1, k′′ = −q2) i випливає виписана

рiвнiсть. Цього результату можна досягнути ще й так:

q1+q2=k

перша рiвнiсть тут це очевиднi переозначення, а другу отримуємо як пiвсуму симетризованого за q1 та q2 виразу. Оскiльки квадратна дужка дорiвнює одиницi, внаслiдок того, що q1 + q2 = k,

то ми знову отримуємо попередню формулу. Пiдставляючи її в рiвняння для ln J та iнтеґруючи його, маємо:

736

Продовжуючи цей iтерацiйний процес iз використанням нашого симетризацiйного трюку, остаточно знаходимо9:

XX ~2

×k1=06 . . . kn=06 2m (k12 + . . . kn2 )ρk1 . . . ρkn .

k1+...+kn=0

Оператор ˆ ′ є, як ми й очiкували, гамiльтонiаном безмежної су-

H0

купностi незв’язаних мiж собою гармонiчних осциляторiв, якi опи-

сують коливання густини частинок системи. Оператор ˆ ′ пред-

H

ставляє внесок вiд ангармонiчностi цих коливань, причому, якщо

9Цiкаво, що цей ряд неважко формально пiдсумувати (записуючи умову q1 + . . . + qn = 0 iнтеґральним зображенням символу Кронекера) i подати

його компактним виразом. Залишаємо це читачам.

737

другий доданок у ньому звичнi нам “кубiчнi” та вищi ангармонiзми, то перший є своєрiдним ангармонiзмом, оскiльки вiн квадратичний за “iмпульсами” ∂/∂ρk i лiнiйний за “координатами”

ρk.

Надалi зосередимо нашу увагу на обчисленнi власних значень i

власних функцiй гамiльтонiана ˆ ′ , а оператор ангармонiзмiв ˆ ′

H0 H

не будемо брати до уваги. Внесок ангармонiчних членiв можна

розраховувати методами стандартної теорiї збурень. Розв’язок за-

дачi з гамiльтонiаном ˆ ′ легко знайдемо, користуючись резуль-

H0

татами §§21, 22. Ситуацiя аналогiчна до процедури квантування

вiльного електромагнiтного поля. У зв’язку з цим робимо лише вiдповiднi перепозначення i враховуємо, що актуальними змiна-

штрих бiля першої суми за k означає, що пiдсумовування за k йде лише в пiвпросторi значень k. Уведемо тепер частоту осцилятора

738

ωk та його масу mk такi, щоб множники бiля квадратiв змiнних

та других похiдних вiдповiдали гармонiчному осциляторовi

Продовжуючи аналогiю з гармонiчним осцилятором, уведемо знерозмiрену координату

Маємо гамiльтонiан двох безмежних сукупностей гармонiчних осциляторiв або одну сукупнiсть двовимiрних осциляторiв (це вiдповiдає дiйснiй та уявнiй частинам ρk). Уведемо тепер два “сорти”

операторiв породження i знищення, як це було зроблено в §22,

739

µ = (c, s) з переставними спiввiдношеннями

а всi решта можливi комутатори дорiвнюють нулевi. Гамiльтонiан