Вакарчук І.О. Квантова механіка

нахiд i отримав у 1936 роцi Нобелiвську премiю за вiдкриття позитрона.

Головною арґументацiєю для збереження розв’язкiв iз вiд’ємними енерґiями є квантовi переходи з моря Дiрака у стани з додатними енерґiями. У класичнiй механiцi, де енерґiя набуває лише неперервних значень, такi переходи “зi стрибками” є неможливими. Квантовий перехiд електрона з дiракiвського моря станiв iз вiд’ємною енерґiєю може вiдбуватись рiзними шляхами. Наприклад, такий перехiд може бути спричинений фотонами, якщо їх енерґiя бiльша, нiж ширина забороненої зони 2mc2. Це процес

народження електронно-позитронної пари. Спостерiгається i зворотний процес електронно-позитронної анiгiляцiї, який, як i прямий процес, вимагає, вiдповiдно до закону збереження енерґiї– iмпульсу, третього тiла. Перш нiж анiгiлювати, як правило, на два фотони, електронно-позитронна пара утворює зв’язаний стан, який називають позитронiєм. П. А. М. Дiрак i передбачив таке одночасне зникнення частинок iз видiленням енерґiї у виглядi випромiнювання.

Насамкiнець зауважимо, що хоча для цього аналiзу ми вибрали електрон, але зрозумiло, що ця iнтерпретацiя теорiї Дiрака застосовна до всiх частинок, спiн яких дорiвнює 1/2.

Вiдступ.

Про П. А. М. Дiрака, який часто пропонував несподiванi рiшення, розповiдають цiкаву iсторiю, що стосується певною мiрою проблеми вiд’ємних значень енерґiй для вiльної релятивiстської частинки.

На однiй з вечiрок, у якiй брав участь молодий Дiрак, була запропонована задача про рибалок: троє рибалок ловили рибу на островi в морi, де їх затримала на нiч буря. Прокинувшись уранцi (буря вже втихла), один iз рибалок вирiшив не будити друзiв, а взяти свою частку риби й на своєму човнi поплисти на берег. Але вiн зауважив, що, якщо вилов роздiлити на трьох, одна рибина є зайвою. Вiн її викинув, узяв свою долю i поплив на берег. Другий рибалка, прокинувшись i не знаючи, що його товариш уже вiдплив, опинився в такому ж становищi: щоб роздiлити рибу на трьох, одну довелось викинути. З третiм рибалкою iсторiя повторилась. Питання: скiльки було рибин спочатку? Дiрак моментально дав вiдповiдь, не соромлячись її абсурдностi: було мiнус двi рибини. З погляду математики це одна з можливих вiдповiдей. Загальний розв’язок цiєї задачi є простим. Якщо було N рибин, то пiсля того, як перший рибалка забрав свою долю, залишилось 2(N − 1)/3, пiсля другого залишилось 2[2(N − 1)/3 − 1]/3 = 2(2N − 5)/9, а пiсля третього 2[2(2N − 5)/9 − 1]/3 = 2(4N − 19)/27. Останнє число повинно

бути кратним цiлим до двох, оскiльки воно розраховувалось на двох рибалок.

611

Отже, 2(4N − 19)/27 = 2m, або 4N − 19 = 27m, m цiле число. Остаточно N = 5 + 7m − (1 + m)/4. Вiдповiдь дають числа m = 4k − 1, k = 0, ±1, ±2, . . ., m = 3, N = 25; m = 7, N = 52, . . .. Але вiдповiдь дають i m = −1, N = −2; m = −5, N = −29, . . .. “Моментальна” вiдповiдь Дiрака N = −2, не стримала

його своєю “незрозумiлiстю” це яскравий приклад нестандартних пiдходiв П. А. М. Дiрака до багатьох задач теоретичної фiзики (дивне добування кореня квадратного та отримання рiвняння Дiрака, магнiтний заряд монополь Дiрака, “закон” великих чисел та проблеми космологiї, спiн, вiд’ємнi значення енерґiї та позитрон. . . ).

§ 74. Сферичний спiнор

Власнi функцiї моменту кiлькостi руху в загальному випадку ми знайшли в §33. У §35 окремо був розглянутий випадок для спiну 1/2, тобто коли квантове число, що визначає власне значен-

ня квадрата моменту кiлькостi руху i максимальне значення його проекцiї j = 1/2. Тут ми дослiдимо випадок, коли момент кiлько-

стi руху визначається сумою орбiтального i спiнового моментiв:

спiновi змiннi, що представляють її внутрiшнi ступенi вiльностi. З

уваги на це будь-яка компонента оператора ˆ комутує з його ква-

J

дратом ˆ2. Отже, вони мають спiльну систему власних функцiй i

J

вiдповiдно власних значень: ~m та ~2j(j + 1). Крiм того, оператор

систему власних функцiй i представляють величини, якi можуть

612

бути вимiряними одночасно. Разом з ними може бути вимiряним i скалярний добуток

Власнi значення цих величин вiдповiдно дорiвнюють

Квантове число j, згiдно з загальним правилом додавання моментiв з §33, може набувати такi значення: j = l ± 1/2.

Знайдемо тепер систему власних функцiй для всiх цих комутуючих мiж собою операторiв. Пишемо рiвняння на власнi функцiї та власнi значення:

ˆ2ψ = ~2j(j + 1)ψ,

J

ˆ ~

Jzψ = mjψ.

Функцiя ψ є дворядковою матрицею-стовпцем:

ψ = ψ1 . ψ2

Запишемо перше рiвняння в явнiй формi, розкриваючи квадрат

оператора ˆ:

J

(ˆ 2 + ˆ2 + 2 ˆ ˆ)ψ = ~2j(j + 1)ψ.

L s Ls

613

причому ψ1 та ψ2 є сферичними функцiями з орбiтальним квантовим числом l. Розпишемо матрицi:

Якщо прийняти в другому рiвняннi ψ1 = C1Yl,m i врахувати, що

p

ˆ ˆ ~ −

(Lx + iLy)Yl,m = (l + 1 + m)(l m) Yl,m+1,

то для його задоволення необхiдно взяти ψ2 = C2Yl,m+1. При цьо-

му задовольняється i перше рiвняння тому, що

614

Визначник цiєї системи лiнiйних однорiдних рiвнянь повинен дорiвнювати нулевi:

−(l − m)(l + m + 1) = 0.

Це бiквадратне рiвняння для квантового числа j з урахуванням того, що j > 0, дає, як i повинно бути:

j = l ± 12.

Нехай j = l + 1/2. З першого рiвняння для коефiцiєнтiв C1, C2

знаходимо, що

Оскiльки сферичнi функцiї нормованi, то звiдси

r

C1 = l + m + 1.

615

Отже, для j = l + 1/2 хвильова функцiя

Цi функцiї називають сферичними спiнорами.

Квантове число mj = m + 1/2, в чому легко переконуємось

прямою пiдстановкою знайдених сферичних спiнорiв у рiвняння

на власнi значення для оператора ˆ ˆ ~ . Причому, при

Jz = Lz + σˆz/2

j = l + 1/2 максимальне значення m = l, як видно з виразу для ψl,m(j) , i отже, максимальне значення mj = l + 1/2 = j; мiнiмальне

значення m = −l − 1, тобто mj = −l − 1/2 = −j. Для випадку j = l − 1/2 максимальне m = l − 1 i вiдповiдно, mj = l − 1/2 = j; мiнiмальне m = −l i mj = −l + 1/2 = −j. Отже, квантове число

mj змiнюється в межах −j ≤ mj ≤ j вiдповiдно до загального

правила.

§ 75. Рiвняння Паулi

Нас цiкавитиме нерелятивiстський перехiд у рiвняннi Дiрака для частинки iз зарядом e в електромагнiтному полi з потенцiалами V та A:

ˆ

HDψ = Eψ,

ˆ ˆ ˆ − e ˆ 2

HD = α, p c A c + eV + βmc .

Здiйснимо в цьому рiвняннi формальний розклад за степенями 1/c. Запишемо його як систему двох матричних рiвнянь

n ˆ ˆ − e ˆ 2o

α, p c A c + eV + βmc ψ = Eψ.

616

Будемо розглядати рух власне електрона, коли E > 0 i головною є функцiя ϕ. Ми виключаємо позитроннi стани пiдстановкою

в перше рiвняння системи функцiї

визначеної з другого рiвняння. Тепер для функцiї ϕ з першого

Вiдраховуючи енерґiю вiд енерґiї спокою E = mc2 + E′, запишемо

це рiвняння в такому виглядi:

Тепер ми маємо змогу перейти в ньому до нерелятивiстської межi, коли

(E′ − eV )/2mc2 1.

Квазiрелятивiстське наближення з точнiстю до 1/c отримає-

мо, якщо знехтуємо цим членом у знаменнику першого доданка в

617

Розпишемо тепер квадрат оператора в ньому. Розгляньмо загальнiший випадок, коли у вираз (σˆ a)(σˆ b) входять довiльнi оператори a та b. Маємо:

(σˆ a)(σˆ b) = (ˆσxax + σˆyay + σˆzaz)(ˆσxbx + σˆyby + σˆzbz)

= σˆx2axbx + σˆy2ayby + σˆz2azbz + σˆxσˆyaxby + σˆyσˆxaybx + σˆxσˆzaxbz

+ˆσzσˆxazbx + σˆyσˆzaybz + σˆzσˆyazby = axbx + ayby + azbz

+iσˆz(axby − aybx) + iσˆy(azbx − axbz) + iσˆx(aybz − azby)

=(ab) + i(σˆ [ab]).

Унашому випадку

Перший i останнiй доданки дорiвнюють нулевi, а в третьому доданку маємо знак “+” тому, що перенесення оператора pˆ направо мiняє мiсцями A та pˆ i векторний добуток при цьому змiнює знак.

Отже,

618

де H = rot A напруженiсть магнiтного поля. Таким чином, ми

отримаємо рiвняння

Це i є рiвняння Паулi (1927 р.). Другий доданок у ньому

має прозорий фiзичний змiст. Перепишемо його так:

ˆ − ˆ

1H = (µH),

де

µˆ = 2emc~ σˆ

має змiст оператора власного магнiтного моменту частинки. Отже, цей доданок у рiвняннi є оператором енерґiї взаємодiї власного магнiтного моменту частинки iз зовнiшнiм магнiтним полем. Запишемо оператор µˆ через оператор спiну ˆs = ~σˆ /2 (ґiромагнiтне

спiввiдношення):

µˆ = −gµBˆs,

де µB = |e|/2mc магнетон Бора, а g = 2 так званий g-фактор. Цей g-фактор визначає вiдношення магнiтного моменту до механi-

чного i у випадку орбiтального руху електрона дорiвнює одиницi. Як бачимо, з теорiї Дiрака випливає не лише наявнiсть власного механiчного моменту частинки, а й власного магнiтного моменту. Якщо пiд m розумiти масу електрона, то отримується до-

бре узгодження мiж обчисленим й експериментально вимiряним значеннями магнiтного моменту. Отже, рiвняння Дiрака з великою точнiстю описує поведiнку електронiв. Застосування рiвняння Дiрака до таких частинок, як протон або нейтрон, не є таким успiшним, хоча деякi висновки, наприклад, про iснування античастинок, стосовнi i до них. Однак кiлькiсно магнiтнi моменти цих частинок вiдрiзняються вiд того, що дає теорiя. Для протона

619

g-фактор дорiвнює не 2, а 2.793, якщо магнiтний момент вимiрю-

вати в ядерних магнетонах7.

Зауважимо, що нестацiонарне рiвняння Паулi описує, як i рiвняння Шрединґера, лише оборотнi процеси, оскiльки замiна t на (−t), A на (−A), σˆ на (−σˆ ) дає те ж саме рiвняння для хвильової

функцiї, яка описує обернений у часi рух.

§ 76. Квазiрелятивiстське наближення рiвняння Дiрака.

Спiн-орбiтальна взаємодiя

Переходимо тепер до наступного наближення рiвняння Дiрака за параметром 1/c. Для цього в точному рiвняннi для функцiї ϕ з

попереднього параграфа врахуємо, крiм першого члена розкладу, тобто одиницi, другий член лiнiйний за “малим параметром”

(E′ − eV )/2mc2:

Перший доданок у квадратних дужках дає вже знайоме нам рiв-

няння Паулi з поправкою ˆ до нерелятивiстського гамiльтонi-

1H

ана. Другий доданок дає наступну поправку, причому ми збережемо лише члени, пропорцiйнi до 1/c2:

Пам’ятаємо також, що функцiя ϕ не є шрединґерiвською хвильовою функцiєю, тому що вона нормується разом iз функцiєю χ:

Z

(ϕ+ϕ + χ+χ)dq = 1.

7Насправдi g-фактор електрона є також бiльшим, нiж 2. Це результат вза-

ємодiї електрона з нульовими коливаннями вакууму (так званi радiацiйнi поправки): g = 2(1 + α/2π + . . .), α = e2/~c 1/137. Експериментально цей

аномальний магнiтний момент електрона вимiряв у 1949 роцi американський фiзик українського походження Полiкарп Кущ (P. Kusch), який за цю роботу був нагороджений у 1955 роцi Нобелiвською премiєю.

620