Вакарчук І.О. Квантова механіка

Ми використали тут те, що ψm(0) є ортонормованою системою фун-

Будемо вважати, по-перше, що збурення є малим, а по-друге, що величини Cmn i En є аналiтичними функцiями параметра λ.

Цi умови є достатньо жорсткими, i вони обмежують коло цiкавих фiзичних задач, залишаючи поза розглядом, наприклад, такi моделi, у яких залежнiсть енерґiї вiд параметра вмикання взаємодiї є неаналiтичною i має вигляд λ ln λ (енерґiя електронного газу) або e−1/λ (проблема надпровiдностi).

Отже, приймаємо, що

ми повиннi отримати ψn = ψn(0). Величини En(1), En(2), . . . назива-

ють вiдповiдно першою поправкою, другою поправкою i т.д. до енерґiї En(0). Тепер маємо

Для того, щоб ця рiвнiсть виконувалась при будь-яких значеннях величини λ, необхiдно, щоб коефiцiєнти при однакових степенях λ

у лiвiй i правiй частинах цього рiвняння збiгалися. Прирiвнюючи

401

цi коефiцiєнти при λ у нульовому степенi (λ0 = 1), отримуємо

рiвняння

En(0) − En(0)′ δn′n = 0,

яке задовольняється при n = n′ i при n 6= n′.

Прирiвнюємо тепер коефiцiєнти при λ у першому степенi:

Ми знайшли першу поправку до енерґiї, яка дорiвнює дiагональному матричному елементовi оператора збурення, розрахованого

Нам залишилось розрахувати в цьому наближеннi ще величину Cnn(1). Знайдемо її з умови нормування хвильової функцiї. Маємо

Тепер з умови

Z

|ψn|2dq = 1

знаходимо (з точнiстю до першого наближення)

402

Будемо вважати величину Cnn(1) дiйсною, i в наближеннi, що ро-

глядається, отримуємо

Cnn(1) = 0.

Отже, в першому наближеннi при λ = 1 знаходимо

En = En(0) + Vnn,

Узявши до уваги умови ермiтовостi для оператора збурення Vmn = Vnm, остаточно отримуємо:

Таким чином, повна енерґiя при λ = 1

En = En(0) + En(1) + En(2).

Якщо n = 0, тобто для основного стану, друга поправка

403

Оскiльки за означенням E0(0) − Em(0) < 0, то E0(2) < 0, тобто друга

поправка до енерґiї основного стану завжди є вiд’ємною. Саме це є причиною того, що опосередкована енерґiя взаємодiї мiж двома частинками через третю має притягувальний характер (сили Ван дер Ваальса, електроннi куперiвськi пари в надпровiднику).

Знайдемо тепер другу поправку до коефiцiєнтiв розкладу хвильової функцiї. Нехай n 6= n′, i з нашого рiвняння одержуємо

Дiагональний елемент, як i в першому наближеннi, обчислюємо з

Звернiмось до третього наближення. Нас цiкавитиме лише поправка до власного значення енерґiї. В нашому основному рiвняннi прирiвнюємо коефiцiєнти при λ3:

404

Покладемо n′ = n i з урахуванням того, що Cnn(1) = 0, En(1) = Vnn, а також видiляючи в правiй частинi цiєї рiвностi член з m = n,

який скорочується з другим доданком з лiвої частини, знаходимо:

X

m

(m6=n)

Пiдставляючи сюди явний вигляд коефiцiєнта Cmn(2) , остаточно

одержуємо третю поправку до власного значення енерґiї:

(m=6 n)

Умови застосовностi розглянутої теорiї збурень можна побачити з самих виразiв для поправок. Поправки до хвильової функцiї

повиннi бути малими. З умови |Cmn(1) | 1 знаходимо в явному

виглядi умову застосовностi теорiї збурень

ти малими в порiвняннi з вiдстанню мiж енерґетичними рiвнями “нульової” задачi. Крiм того, ця теорiя збурень незастосовна у випадку вироджених рiвнiв. Справдi, у знайдених виразах пiдсумовування йде за iндексами станiв, а не за рiзними значеннями енерґiї. Тому для виродженої задачi рiзним станам з iндексами n та m вiдповiдає одне й те ж значення енерґiї, внаслiдок чого

в знаменниках отримуємо нулi. Це, наприклад, маємо в задачi для атома водню, на який накладено зовнiшнє поле. Пiдсумовування

405

в цьому випадку йде за рiзними iндексами станiв n, l, m, а енерґiя En(0)

числа n.

Теорiю, яку ми розглянули, називають теорiєю збурень Релея– Шрединґера. Є iншi варiанти теорiї збурень. Наприклад, у теорiї збурень Брiллюена–Вiґнера енерґiя En не розкладається в ряд за параметром λ, i для неї з точнiстю до другого порядку отримуємо

рiвняння:

Зробимо, нарештi, таке зауваження. Якщо, крiм дискретного спектра, у “нульовiй” задачi є i неперервний спектр, що нумерується неперервним квантовим числом f, то пiд пiдсумовуванням за квантовим числом m розумiємо також й iнтеґрування за f.

Приклад 1. Ангармонiчний осцилятор “x2 + x4”. Нехай задано гамiльто-

нiан ангармонiчного осцилятора

розглядаємо як збурення. Енерґiю запишiмо з точнiстю до першого порядку

а поправка

En(1) = Vnn = αhn|x4|ni,

де | i власнi функцiї гармонiчного осцилятора з гамiльтонiаном ˆ . Роз- n H0

рахуємо цю поправку

X

En(1) = α hn|x2|n′ihn′|x2|ni.

n′

406

Нагадаємо, що матричнi елементи квадрата координати гармонiчного осцилятора ми вже розрахували у §22. Використовуючи їх тут, зразу знаходимо

×n(n − 1)δn′ ,n−2 + (n + 1)(n + 2)δn′ ,n+2 + (2n + 1)δn,n′

Бачимо, що при великих значеннях квантового числа n ця поправка може

бути бiльшою за рiзницю мiж рiвнями нульової задачi En(0). Таким чином,

теорiя збурень працює лише для нижнiх станiв.

Приклад 2. На гармонiчний осцилятор маси m i частоти ω накладемо збурення V = β3x3 + β4x4. Обчислити поправку до енерґiї n-го рiвня з точнiстю до ~2.

Перша поправка

En(1) = hn|V |ni = β3hn|x3|ni + β4hn|x4|ni,

а оскiльки дiагональний матричний елемент вiд x3 дорiвнює нулевi (див. §22), то, використовуючи вираз для hn|x4|ni з попереднього прикладу, маємо

Внесок ~2 дає також другий порядок теорiї збурень вiд кубiчного члена в операторi V :

407

√ √

+3(n + 1) n + 1 δn′ ,n+1 + 3n n δn′ ,n−1

p 2

+ n(n − 1)(n − 2) δn′ ,n−3 ,

ми скористались виразом для матричного елемента для x3 з §22, а також взяли до уваги, що En(0) = ~ω(n + 1/2). Очевидно, що при розкриттi квадрата

перехреснi доданки дадуть нульовий внесок, оскiльки маємо добуток символiв Кронекера з несумiсними умовами:

Остаточно в шуканому наближеннi енерґiя

оскiльки вищi порядки теорiї збурень, як показує елементарний аналiз розмiрностей, виводять нас за наближення ~2.

§46. Моделi з малими параметрами, створеними

з“Нiчого”

Розглянемо ангармонiчний осцилятор “x4”. На прикладi цiєї

моделi ми проiлюструємо, по-перше, як можна застосовувати теорiю збурень i в тому випадку, коли немає малого параметра. Подруге, покажемо, як усе ж таки можна винайти малий параметр, так би мовити, створити його з “Нiчого”1.

1Ex nihilo nihil fit Нiщо не виникає з нiчого. Цю тезу заперечує хрис-

тиянська догматика. Проблема Нiщо як метафiзичного, позасутнiсного поняття вiдома давно, ще з античної фiлософiї. За Кантом, предмет якогось поняття, яке суперечить самому собi, є Нiщо (прямолiнiйна фiгура з двома

408

Запишемо рiвняння на власнi значення та власнi функцiї в координатному зображеннi:

де еталон довжини a пiдберемо так, щоб множник бiля y4 дорiв-

нював одиницi:

у якому немає малого параметра.

Iз цiєї ситуацiї можна вийти, якщо оператор збурення “ввести руками”. Додамо i вiднiмемо в гамiльтонiанi потецiальну енерґiю гармонiчного осцилятора з невiдомою частотою ω:

сторонами). Видатний нiмецький мислитель Мартiн Гайдеґґер (1889–1976) розкривав це поняття з метою вiдповiсти на питання, що таке метафiзика. У зацiпенiлому станi жаху, принципово невизначеному вiд чого, людинi як такiй привiдкривається Нiщо. У цьому трансцендентальному станi вона торкається позасутнiсного, що й дослiджує метафiзика.

409

Використовуючи результати з прикладу 1 до попереднього параграфа, маємо:

Повна енерґiя цього наближення

Невiдому частоту ω пiдберемо так, щоб перша поправка, яка дає

головний внесок у порiвняннi з вищими поправками, дорiвнювала нулевi, En(1) = 0, тобто

Зауважимо, що, завдяки такiй модифiкованiй теорiї збурень, ця формула не втрачає змiсту i при великих значеннях квантового

410