Вакарчук І.О. Квантова механіка

Легко перевiрити (якщо взяти до уваги наведений вище табличний iнтеґрал), що ця функцiя є нормованою. Як i повинно бути, вона має один вузол у точцi x = 0.

Покладемо суперпотенцiал W = W0tg(x/a) i буквально, повторюючи об-

числення з основного тексту цього параграфа для поля з оберненим ква-

кiлькiсть рiвнiв є необмеженою.

Приклад 2. Обчислити потенцiальну енерґiю U та рiвнi енерґiї частинки,

якщо задано суперсиметричний потенцiал

221

З рекурентного спiввiдношення для суперсиметричного потенцiалу

вiдтворити потенцiальну енерґiю частинки U i обчислити енерґетичний

спектр.

Пiдставляючи W в рiвняння, яке зв’язує його з потенцiальною енерґiєю,

222

i енерґiю факторизацiї

Легко зауважити, що першi два доданки пiд знаком суми взаємно скорочуються за винятком першого члена B2/A2 в першому доданку i останнього

члена (−)B2/(A + n)2 в другому доданку. Решта пiдсумовувань є очевидними i в результатi

З граничних умов ψ(0) = 0 i ψ(∞) = 0, знаходимо A > 0 i B > A2, а з умови

нормування

223

§ 24. Ангармонiчний |x|-осцилятор

Дослiдимо рух частинки в одновимiрному просторi з координатою x в полi з потенцiальною енерґiєю

U(x) = α|x|, α > 0.

Оператор Гамiльтона такої системи, яку називатимемо |x|-осци-

Наша мета знайти власнi функцiї ψ(x) та власнi значення E опе-

ратора ˆ . Цей приклад є цiкавим i повчальним навiть для тих,

H

хто вже має “набиту руку” в розв’язуваннi квантовомеханiчних задач. Таку модель для потенцiальної енерґiї використовують, наприклад, при дослiдженнi зв’язаних станiв кварк-антикваркової системи, якi вiдповiдають рiзним спостережуваним частинкам. Крiм того, виявилось, що дещо змiнена така модель має експериментальну реалiзацiю, про що скажемо пiзнiше.

Отже, маємо стацiонарне рiвняння Шрединґера

pˆ2 ± αxˆ ψ(x) = Eψ(x),

2m

верхнiй знак беремо, коли x ≥ 0, а нижнiй для x ≤ 0. Вигiдно

працювати в iмпульсному зображеннi, коли

i для хвильової функцiї C(p), оскiльки pˆ = p, xˆ = i~d/dp, маємо

рiвняння

p2 ± iα~ d C(p) = EC(p), 2m dp

яке легко розв’язується. Справдi, переписуємо це рiвняння так:

dC(p) = E − p2 dp. C(p) 2m

224

C0 стала нормування.

Тепер хвильова функцiя в координатному зображеннi

Оскiльки iнтеґрування йде тут у симетричних межах, то пiсля розписування експоненти за формулою Ейлера залишається внесок лише вiд косинуса як вiд парної функцiї:

Одержуючи другу рiвнiсть, ми пiд косинусом винесли за дужки знак “±”. Зробимо замiну змiнної iнтеґрування

225

вiдомий як iнтеґрал або функцiя Ейрi (його називають також iнтеґрал райдуги, див. Приклад до §29). Цю функцiю можна виразити також через модифiкованi функцiї Бесселя дробового порядку:

C′ iнша стала.

Для того щоб отримати остаточний результат, нам залишилось зшити цi функцiї та їхнi похiднi в точцi x = 0:

CAi(−ε) = C′Ai(−ε),

CAi′(−ε) = −C′Ai′(−ε),

Ai′(z) = dAi(z)/dz.

226

З цiєї системи двох рiвнянь i з умови нормування хвильової функцiї

Z∞

|ψ(x)|2 dx = 1

−∞

однозначно знаходимо три невiдомi величини: C, C′ та E. Це означає, що енерґiя E не може набувати будь-яких значень, тобто рiвнi

енерґiї нашої системи є дискретними. Перший розв’язок системи рiвнянь,

Отже, перший розв’язок дає парну хвильову функцiю

ψn(x) = CAi(|ξ| − εn),

де рiвнi енерґiї

цi розв’язки нумеруємо парними числами.

Другий розв’язок визначає непарну хвильову функцiю

ψn(x) = ±CAi(|ξ| − εn),

знак “+” для x ≥ 0, знак “−” для x ≤ 0, а рiвнi енерґiї знаходимо

з рiвняння

Ai(−εn) = 0, n = 1, 3, 5, . . . ;

цi розв’язки нумеруємо непарними числами. З умови нормування маємо

Z∞

|C|2 Ai2(|ξ| − εn) dx = 1,

−∞

227

i пiсля замiни z = ξ − εn знаходимо з точнiстю до фазового мно-

228

У таблицi подано першi одинадцять рiвнiв енерґiї εn, якi ми

знайшли як нулi функцiї Ейрi та її похiдної (див., наприклад, Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. М.: Наука, 1979, на стор. 294).

На рис. 21 подано безвузлову хвильову функцiю основного стану та функцiй кiлькох збуджених станiв, якi мають вузли.

#q

Рис. 21. Хвильовi функцiї |x|-осцилятора. Суцiльнi лiнiї парнi хвильовi функцiї (n = 0, 2), пунктирнi лiнiї непарнi хвильовi функцiї (n = 1, 3).

Насамкiнець зауважимо, що якби потенцiальна енерґiя частинки була б несиметричною функцiєю x i дорiвнювала U(x) = αx, α > 0, x ≥ 0 та набувала безмежного значення в точцi x = 0 (безмежно висока стiнка), то розв’язок такої задачi ψ(x) = CAi(ξ − εn) з умовою ψ(0) = 0, тобто Ai(−εn) = 0. Причому рiвнi енерґiї εn збiгаються з наведеними вище для непарних квантових чисел n = 1, 3, 5, . . .. Отже, завдяки умовi в точцi x = 0 вiдбува-

ється “децимацiя” станiв з парними хвильовими функцiями. Ця задача є квантовим аналогом класичної шкiльної задачi про м’яч, що рухається в однорiдному ґравiтацiйному полi бiля поверхнi Землi, перiодично падаючи та вiдбиваючись вiд неї (α = mg, g

прискорення вiльного падiння). Нещодавно вперше було виконано унiкальний експеримент зi спостереження таких квантових станiв для ультрахолодних нейтронiв (швидкостi 2 см/сек), що пада-

229

ють пiд дiєю ґравiтацiйного поля Землi та вiдбиваються вiд горизонтального нейтронного дзеркала. Цей дослiд дозволяє також установлювати нижню межу вiдстанi, пiсля якої можливi спотворення ньютонiвського ґравiтацiйного потенцiалу (Hartmut Abele, Stefan Baeßler, Alexander Westphal, preprint hep-ph/0301145 v1.).

Цiкаво також розглянути власнi значення енерґiї εn для великих значень квантового числа n, коли можна записати для них

явний вираз. Для цього нам потрiбно скористатись асимптотичними розкладами функцiї Ейрi та її похiдної (див. на стор. 267 рекомендованого вище довiдника):

причому перша умова дає непарнi значення n, а друга парнi. Мiж iншим, ця формула дає досить добрi значення εn i для малих квантових чисел n. Зокрема для основного стану n = 0, наближене значення енерґiї ε0 = (3π/8)2/3 = 1.115460, а точне значення дорiвнює ε0 = 1.018793.

Приклад 1. Обчислити рiвнi енерґiї частинки маси m в полi

U = mω2x2/2 + α|x|; −∞ < x < ∞; ω2, α сталi.

230