Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Вакарчук І.О. Квантова механіка

.pdf
Скачиваний:
354
Добавлен:
14.02.2016
Размер:
5.24 Mб
Скачать

повинна мати вузлiв. Своєю чергою, це накладає умови на функцiю W (x). А саме, вона не повинна мати синґулярностей i має

забезпечити умову нормування,

Z

0(x)|2 dx = 1,

−∞

звiдки випливає така умова:

Zx

W (x) dx→ +∞, при x → ±∞.

x0

Надалi будемо вважати, що функцiя W , яку ми пiдiбрали, задо-

вольняє цi умови, i таким чином, ми визначили хвильову функцiю основного стану ψ0 i вiдповiдну енерґiю E0.

Для подальшого аналiзу збуджених станiв зручно вiдраховувати енерґiю вiд значення E0, i тому запровадимо оператор

 

 

 

 

 

 

ˆ

ˆ

 

ˆ+ ˆ

 

 

 

 

 

 

H= H − E0 = A A.

 

 

Поруч iз цим оператором уведемо до розгляду його партнера3

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

ˆ ˆ+

 

 

 

 

 

 

 

H+

= AA

 

3

 

 

ˆ

ˆ

 

 

 

 

 

 

Оператори H+

та Hназивають суперсиметричними партнерами, а фун-

кцiя W має

назву “суперпотенцiал”. Цi назви пiшли вiд того, що матри-

 

 

 

 

 

 

ˆ

0

! разом з так званими суперзарядами

 

 

 

 

 

 

H

чний гамiльтонiан

Hˆ =

0 +

Hˆ

 

 

 

0

ˆ

 

 

0

ˆ

! задають узагальнену алґебру Лi

 

 

 

A

 

 

iA

Qˆ

1 =

Aˆ+

0 !

та Qˆ2 =

−iAˆ+

0

або супералґебру:

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

 

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

 

 

 

Qj Ql + QlQj

= 2δlj H, Qj H

− HQj = 0, l, j = 1, 2.

А квантову механiку систем, якi виявляють цю суперсиметрiю, називають “суперсиметричною квантовою механiкою” або SUSY-квантовою механiкою. Абревiатура походить вiд перших лiтер англiйських слiв Super Symmetric. Для докладнiшого ознайомлення зi SUSY, а також з наведеними нижче результатами див., наприклад, В. М. Ткачук. Суперсиметрiя у квантовiй механiцi. Львiв: ЛДУ, 1994.

211

i будемо вивчати рiвняння на власнi значення для цих операторiв:

ˆ+ ˆ (−)

A Aψn

AAˆ ˆ+ψn(+)

=En(−)ψn(−),

=En(+)ψn(+).

Позначення тут очевиднi i не потребують коментарiв. Зазначимо

лише, що нас цiкавлять саме функцiї ψn(−)

i рiвнi енерґiї En(−),

причому рiвнi енерґiї вихiдного оператора

ˆ

 

 

 

H

 

 

 

 

En = En(−) + E0,

 

 

 

 

де E(−) = 0, а ψ0

= ψ(−).

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

ˆ+

 

 

 

 

 

 

 

,

Подiємо на друге рiвняння нашої системи оператором A

 

ˆ+ ˆ ˆ+ (+)

(+)

ˆ+

(+)

),

 

 

A A(A ψn

) = En

(A ψn

 

 

порiвняємо його з першим рiвнянням i бачимо, що

ˆ+ (+) (−)

A ψn = Cnψn ,

En(+) = En(−),

Cn стала нормування. Отже, ми знайшли, що спектри власних

значень операторiв-партнерiв

ˆ

ˆ

H+ та Hзбiгаються (за винятком

стану з нульовим значенням

енерґiї, як буде показано нижче),

а хвильовi функцiї зв’язанi простим спiввiдношенням. Сталу Cn

знаходимо з умови нормування:

 

Z +ψn(+)

2

 

 

 

або

 

 

 

Z

 

dx = |Cn|2 Z

 

 

2

dx

ψn(−)

 

 

 

 

 

ψ(+) AAˆ ˆ+ψ(+) dx = C

2

n

n

|

n|

i, використовуючи рiвняння на власнi значення для ˆ , маємо,

H+

що

En(+) = |Cn|2.

212

Хвильовi функцiї ψn(−) та ψn(+) є нормованими. Отже, (з точнiстю

до фазового множника)

ψ(−) =

 

1

Aˆ+ψ(+).

 

 

n

q

 

n

 

En(+)

Подiємо тепер оператором ˆ на рiвняння на власнi значення

A

для оператора ˆ (тобто на перше рiвняння з нашої системи):

H

ˆ ˆ+ ˆ (−) (−) ˆ (−)

AA (Aψn ) = En (Aψn ).

Звiдки (пiсля погляду на друге рiвняння системи) одержуємо:

En(−) = En(+),

ˆ (−) ′ (+)

n = Cnψn .

Сталу Cnвизначаємо аналогiчно до попереднього i отримуємо

 

 

 

 

 

 

ψn(+) =

 

1

 

 

 

ˆ n(−).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qEn(−)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ми знайшли зв’язок мiж власними функцiями операторiв-

ˆ

 

та

ˆ

 

 

i нам залишось зробити ще одне важливе

партнерiв H

+

H

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

зауваження: оператор

H+ не має власного значення, рiвного ну-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

левi, якщо таке власне значення має оператор H. Справдi, це

означало би, що

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ+

(+)

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A ψ0

 

 

або в явному записi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

d

 

 

 

 

 

(+)

 

 

 

 

 

 

+ W (x)

ψ0

 

(x) = 0,

 

 

dx

 

 

 

2m

 

з розв’язком

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

(+)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m

 

 

 

 

ψ0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

(x) = Cexp

~

 

 

Z

W (x) dx,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

213

C, x0 сталi величини. Однак для цiєї функцiї не iснує iнтеґрала нормування, оскiльки ранiше ми прийняли, що при x → ±∞ цей показник експоненти прямує до +∞, i тим самим забезпечили умову нормування ψ0 хвильової функцiї основного стану

оператора ˆ . Отже, ми доходимо висновку, що такого стану не

H

ˆ

 

 

 

iснує, тобто в оператора H+ вiдсутнє власне значення, яке дорiв-

ˆ

 

ˆ

 

нює нулевi. Таким чином, власнi значення операторiв H

+

та H

ˆ

 

збiгаються, за винятком того, що оператор Hмає ще додаткове

власне значення, рiвне нулевi.

Одержанi вище результати дають змогу побудувати власнi

функцiї збуджених станiв оператора ˆ та вiдповiднi їм власнi

H

значення. Покажемо це. Отже, нехай функцiя W , яку ми назива-

тимемо також суперсиметричним потенцiалом, залежить вiд змiнної x i вiд сукупностi параметрiв, якi ми позначимо однiєю лiтерою

α:

 

 

W = W (x; α).

 

 

 

 

 

 

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

 

Це означає, що i гамiльтонiани H+ = H+(α) та H= H(α), як

ˆ

ˆ

ˆ+

ˆ+

 

 

(+)

=

i оператори A

= A(α), A

= A (α) та хвильовi функцiї ψn

ψn(+)(x; α), ψn(−) = ψn(−)(x; α), також залежать вiд цих параметрiв.

 

ˆ

 

 

ˆ

Спробуймо тепер зобразити оператор H+(α) як оператор H1),

але з iншим набором параметрiв α1:

 

 

 

ˆ

ˆ

 

 

 

H+(α) = H1) + 1,

 

 

 

де 1 = 11) стала величина. Якщо це нам вдається зробити,

 

 

ˆ

 

(α ) дорiв-

то оскiльки найнижче власне значення оператора H

 

нює нулевi, найнижчий рiвень (n = 1) для

ˆ

1

H+(α) дорiвнює 1,

а його хвильова функцiя ψ(+)(x; α) = ψ(−)

(x; α1). А через те, що

 

 

 

 

 

 

1

ˆ

 

0

 

ˆ

 

(α) збiгаються, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

спектри власних значень операторiв H

(α) i H

+

виходить, що

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

1 енерґiя першого збудженого стану для H(α):

 

 

 

 

 

 

E(−) =

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а вiдповiдна хвильова функцiя, за знайденим вище рецептом,

(−)

 

1

 

ˆ+

(+)

 

 

 

1

 

ˆ+

 

(−)

 

ψ1

(x; α) =

 

 

A (α)ψ1 (x; α) =

 

 

A (α)ψ0

(x; α1).

 

1

1

214

 

 

 

ˆ

 

(α ), будуємо його партне-

 

Робимо наступний крок. Маючи H

 

ра

ˆ

 

 

1

H+1) i для нього знову намагаємось записати рiвняння

 

ˆ

ˆ

 

 

 

 

H+1) = H2) + 2,

2

= 22) вже з новим набором параметрiв α2. Тепер 2

найнижче власне значення оператора

ˆ

H+1), тому наступне сто-

совно E1(−) власне значення Hˆ1):

 

 

 

E(−)

= E(−) +

2 =

1 + 2.

 

2

1

 

 

 

Хвильова функцiя оператора ˆ

H+1)

ψ2(+)(x; α1) = ψ1(−)(x; α2),

а з iншого боку, за нашим рецептом

(−)

 

1

 

ˆ+

(+)

 

ψ2

(x; α) =

 

 

A (α)ψ2

(x; α).

1 +

2

Далi мiркування, аналогiчнi наведеним вище, дають:

ψ2(−)(x; α) =

1

1 +

=

1

1 +

ˆ+

(−)

(x; α1)

 

 

A (α)ψ1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

ˆ+

1

 

ˆ+

(−)

 

 

 

 

A (α)

 

 

A (α10

(x; α2).

 

 

22

Продовжуючи цю процедуру для n-го кроку, маємо:

ˆ ˆ

H+n−1) = Hn) + n

i звiдси спектр енерґiї

En(−) = 1 + 2 + . . . + n,

а хвильовi функцiї

 

 

 

 

 

 

 

ψ(−)(x; α) =

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

p1 + . . . +

n)(Δ2 + . . . +

n) . . . n

×

+

ˆ+

+

(−)

(x; αn),

A (α)A (α1) . . . A (αn−10

215

де хвильова функцiя основного стану визначена рiвнянням

 

 

 

 

 

ˆ

(−)

(x; αn) = 0,

 

 

 

 

 

A(αn0

або

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ d

 

(

)

 

 

 

 

 

 

+ W (x; αn) ψ0

 

(x; αn) = 0.

 

dx

 

 

2m

 

 

Наша задача розв’язана: остаточно спектр енерґiї вихiдного

 

ˆ

 

 

 

 

гамiльтонiана H дорiвнює

 

 

 

 

 

 

 

En = E0 +

1 + 2 + . . . + n,

а хвильовi функцiї

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ψn(x; α) = ψn(−)(x; α).

 

Для практичного розв’язування задач запишемо рекурентне

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

ˆ

спiввiдношення мiж гамiльтонiанами H+n−1) i Hn) через ре-

курентнi спiввiдношення мiж функцiями W (x, αn) та W (x, αn−1)

та їхнiми похiдними, виходячи безпосередньо з означень цих гамiльтонiанiв:

W 2(x; αn−1) + √~ W (x, αn−1) 2m

= W 2(x; αn) − √~ W (x, αn) + n.

2m

Проiлюструємо наведенi вище загальнi результати конкретними прикладами4.

Зробимо спочатку вправу для гармонiчного осцилятора. Функцiю W ми вже записували вище:

 

 

2

x, α = 1/2.

W = α

2mω

Наша рекурентна формула тепер дає:

2mω2α2n−1x2 + αn−1~ω = 2mω2α2nx2 − αn~ω + n.

4Читача, якого цiкавить загальний розв’язок рекурентного рiвняння для суперпотенцiала W , вiдсилаємо до книжки Ф. М. Морс, Г. Фешбах. Методи

теоретичної фiзики. М.: Изд-во иностр. лит., 1958, с. 731.

216

Звiдси маємо, що αn не залежить вiд iндексу n,

α2n−1 = α2n,

тобто

αn = α = 1/2,

а

n/~ω = αn−1 + αn = 1.

Тому рiвнi енерґiї з урахуванням енерґiї основного стану E0 = ε = ~ω/2 маємо такi:

En = E0 + 1 + . . . + n = E0 + n~ω = ~ω(n + 1/2), n = 1, 2, . . . .

Хвильова функцiя основного стану

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωr

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

x ,

 

 

 

~

 

 

2

 

 

 

ψ0(x) = C exp −

 

 

 

 

 

Z

xdx= Ce2~

де сталу C = C exp

2

знаходимо з умови нормування, C=

(mω/π~)1/4′, i маємо

2~

x0

 

 

 

 

1/4

 

 

 

 

 

 

 

 

ψ0(x) =

 

 

exp

 

x2 .

 

 

 

π~

2~

 

 

Хвильовi функцiї збуджених станiв iз загальної формули дорiвнюють

 

 

1

ˆ+

 

 

 

 

1

 

 

ˆ+

1

 

ˆ+

 

 

ψn(x) =

 

 

A

p

 

 

 

A . . .

 

 

A ψ0

(x)

 

~ωn

~ω(n − 1)

~ω

 

1

 

 

 

 

+ n

1

 

ˆ+ n

 

 

 

=

p

 

(A ) ψ0(x) =

 

 

(b ) ψ0(x),

 

де

(~ω)nn!

n!

 

 

 

 

 

 

 

1

d

+ ξ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆb+ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

i збiгаються зi знайденими в §22.

Нехай тепер потенцiальна енерґiя частинки

U = − U0 ch2(x/a)

217

це так званий модифiкований потенцiал Пешля–Теллера, де сталi величини U0 > 0, a > 0. Спробуймо, дивлячись на зв’язок мiж U та функцiєю W , записати останню в такому виглядi:

 

 

 

W = W0th (x/a).

 

 

 

 

За означенням, маємо, що

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U = W 2

~

W + ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

W02 th2(x/a) − W0r

~2

 

 

 

 

1

+ ε

2ma2

 

ch2(x/a)

 

 

 

 

 

 

 

 

~2

 

1

 

=

W02

+ ε − W0 W0 + r

 

 

!

 

.

2ma2

ch2(x/a)

Якщо покласти

W02 + ε = 0,

r!

W0 W0 +

~2

= U0,

2ma2

 

 

то ми i справдi приходимо до вихiдної функцiї U = U(x).

Уведемо знерозмiрений параметр

 

 

 

 

,r

 

 

 

 

α = W0

~2

,

 

 

2ma2

тодi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~2

 

 

 

 

 

 

W = r

 

 

α th ξ, ξ = x/a,

2ma2

~2

U0 = 2ma2 α(α + 1).

Запишемо наше головне рекурентне спiввiдношення для функцiй

W (x; αn):

2 2

α

2 2

α

 

~2

n−1

n

 

n

 

αn−1th ξ +

ch2ξ

= αnth ξ −

ch2ξ

+

2ma2

218

або

 

 

 

n

 

 

n2

−1 − αn−1)th2ξ + αn−1 = (αn2 + αn)th2ξ − αn +

~2

.

2ma2

Звiдси знаходимо, що

 

 

 

 

αn−1n−1 − 1) = αnn + 1),

 

 

 

 

~2

n−1 + αn).

 

 

 

 

n =

 

 

 

 

 

2ma2

 

 

 

Перше рiвняння задовольняємо пiдстановкою5 αn

= const − n,

причому α0 = α, тому const = α. Пiсля цього знаходимо αn =

α − n, n = 0, 1, 2, . . .; n < α, оскiльки лише за умови αn > 0 iснує

нормована хвильова функцiя, а

~2

n = (1 + 2α − 2n)2ma2 .

Беручи до уваги й енерґiю основного стану

 

 

E0 = ε = −W02

~2

α2,

 

 

 

 

 

= −

 

 

 

 

 

 

2ma2

 

 

 

знаходимо дискретнi енерґетичнi рiвнi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~2

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En

 

 

= −α2 + n=1(1 + 2α − 2n)

 

2ma2

 

= −α2 + (1 + 2α)n − n(n + 1) = −(α − n)2, n < α

або, повертаючись до вихiдного параметра U0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

s1 + U0

~2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

α =

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

2

8ma2

2

 

 

 

остаточно маємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

"−(1 + 2n) + s1 + U0

 

 

 

 

~2

 

~2

 

# ,

En = −

 

 

 

8ma2

8ma2

5Можна просто розкласти αn у ряд за степенями n i з цього рiвняння

знайти зв’язок мiж коефiцiєнтами розкладу: очевидно, що прийдемо до такого ж результату.

219

i отже, оскiльки n < α, то є скiнченне число дискретних рiвнiв.

Знайдемо хвильову функцiю основного стану:

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

ψ0(x) =

C exp −

 

~

Z

 

W (x) dx

 

 

 

α

 

x

 

x

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

C exp −

a

 

Z

th

a

dx = C

exp [−α ln(ch ξ)]

або

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ψ0(x) = C

 

 

1

,

 

 

 

 

 

chα(x/a)

 

а сталу C= Cchα(x0/a) визначаємо з умови нормування:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|C|2

2a Z0

 

 

= 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

chξ

 

Цей iнтеґрал є табличним,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ

 

 

 

µ+1

 

ν−µ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh ξ

dξ =

2

 

 

 

2

 

 

, Re µ > 1, Re (µ ν) < 0,

0

ν

 

ν+1

 

 

 

ch ξ

2

2

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

i дорiвнює

 

(α)/2 (α + 1/2), тому остаточно

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ψ0(x) = s

(α + 1/2)

1

 

 

 

 

 

 

 

a

 

(α)

 

 

.

 

 

 

 

 

 

chα(x/a)

 

 

 

 

 

 

π

 

Хвильову функцiю першого збудженого стану знаходимо iз загальної формули:

√1 ˆ+

ψ1(x) = A (α)ψ0(x; α1)

1

220