Вакарчук І.О. Квантова механіка
.pdfповинна мати вузлiв. Своєю чергою, це накладає умови на функцiю W (x). А саме, вона не повинна мати синґулярностей i має
забезпечити умову нормування,
Z∞
|ψ0(x)|2 dx = 1,
−∞
звiдки випливає така умова:
Zx
W (x′) dx′ → +∞, при x → ±∞.
x0
Надалi будемо вважати, що функцiя W , яку ми пiдiбрали, задо-
вольняє цi умови, i таким чином, ми визначили хвильову функцiю основного стану ψ0 i вiдповiдну енерґiю E0.
Для подальшого аналiзу збуджених станiв зручно вiдраховувати енерґiю вiд значення E0, i тому запровадимо оператор
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
ˆ+ ˆ |
|
|
|
|
|
|
H− = H − E0 = A A. |
|||
|
|
Поруч iз цим оператором уведемо до розгляду його партнера3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ ˆ+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
H+ |
= AA |
|
|
3 |
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
Оператори H+ |
та H− називають суперсиметричними партнерами, а фун- |
||||||
кцiя W має |
назву “суперпотенцiал”. Цi назви пiшли вiд того, що матри- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
ˆ |
0 |
! разом з так званими суперзарядами |
|
|
|
|
|
|
|
H |
|||
чний гамiльтонiан |
Hˆ = |
0 + |
Hˆ− |
||||||
|
|
|
0 |
ˆ |
|
|
0 |
ˆ |
! задають узагальнену алґебру Лi |
|
|
|
A |
|
|
iA |
|||
Qˆ |
1 = |
Aˆ+ |
0 ! |
та Qˆ2 = |
−iAˆ+ |
0 |
|||
або супералґебру: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
|
ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
|
|
|
Qj Ql + QlQj |
= 2δlj H, Qj H |
− HQj = 0, l, j = 1, 2. |
||||
А квантову механiку систем, якi виявляють цю суперсиметрiю, називають “суперсиметричною квантовою механiкою” або SUSY-квантовою механiкою. Абревiатура походить вiд перших лiтер англiйських слiв Super Symmetric. Для докладнiшого ознайомлення зi SUSY, а також з наведеними нижче результатами див., наприклад, В. М. Ткачук. Суперсиметрiя у квантовiй механiцi. Львiв: ЛДУ, 1994.
211
i будемо вивчати рiвняння на власнi значення для цих операторiв:
ˆ+ ˆ (−)
A Aψn
AAˆ ˆ+ψn(+)
=En(−)ψn(−),
=En(+)ψn(+).
Позначення тут очевиднi i не потребують коментарiв. Зазначимо
лише, що нас цiкавлять саме функцiї ψn(−) |
i рiвнi енерґiї En(−), |
||||||
причому рiвнi енерґiї вихiдного оператора |
ˆ |
|
|
|
|||
H |
|
|
|
||||
|
En = En(−) + E0, |
|
|
|
|
||
де E(−) = 0, а ψ0 |
= ψ(−). |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
ˆ+ |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
Подiємо на друге рiвняння нашої системи оператором A |
|||||||
|
ˆ+ ˆ ˆ+ (+) |
(+) |
ˆ+ |
(+) |
), |
|
|
|
A A(A ψn |
) = En |
(A ψn |
|
|
||
порiвняємо його з першим рiвнянням i бачимо, що
ˆ+ (+) (−)
A ψn = Cnψn ,
En(+) = En(−),
Cn стала нормування. Отже, ми знайшли, що спектри власних
значень операторiв-партнерiв |
ˆ |
ˆ |
H+ та H− збiгаються (за винятком |
||
стану з нульовим значенням |
енерґiї, як буде показано нижче), |
|
а хвильовi функцiї зв’язанi простим спiввiдношенням. Сталу Cn
знаходимо з умови нормування:
|
Z Aˆ+ψn(+) |
2 |
|
|
|
або |
|
|
|
Z |
|
dx = |Cn|2 Z |
|
|
2 |
|
dx |
||||
ψn(−) |
|
|||
|
|
|
|
ψ(+) AAˆ ˆ+ψ(+) dx = C |
2 |
||
n |
n |
| |
n| |
i, використовуючи рiвняння на власнi значення для ˆ , маємо,
H+
що
En(+) = |Cn|2.
212
Хвильовi функцiї ψn(−) та ψn(+) є нормованими. Отже, (з точнiстю
до фазового множника)
ψ(−) = |
|
1 |
Aˆ+ψ(+). |
|
|
||
n |
q |
|
n |
|
En(+)
Подiємо тепер оператором ˆ на рiвняння на власнi значення
A
для оператора ˆ (тобто на перше рiвняння з нашої системи):
H−
ˆ ˆ+ ˆ (−) (−) ˆ (−)
AA (Aψn ) = En (Aψn ).
Звiдки (пiсля погляду на друге рiвняння системи) одержуємо:
En(−) = En(+),
ˆ (−) ′ (+)
Aψn = Cnψn .
Сталу Cn′ визначаємо аналогiчно до попереднього i отримуємо
|
|
|
|
|
|
ψn(+) = |
|
1 |
|
|
|
Aψˆ n(−). |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
qEn(−) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ми знайшли зв’язок мiж власними функцiями операторiв- |
||||||||||||||||||
ˆ |
|
та |
ˆ |
|
|
i нам залишось зробити ще одне важливе |
||||||||||||
партнерiв H |
+ |
H |
− |
|||||||||||||||
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
зауваження: оператор |
H+ не має власного значення, рiвного ну- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
левi, якщо таке власне значення має оператор H−. Справдi, це |
||||||||||||||||||
означало би, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ+ |
(+) |
= 0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A ψ0 |
|
|
|||||||
або в явному записi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
d |
|
|
|
|
|
(+) |
|
|||
|
|
− |
√ |
|
|
|
+ W (x) |
ψ0 |
|
(x) = 0, |
||||||||
|
|
dx |
|
|||||||||||||||
|
|
2m |
|
|||||||||||||||
з розв’язком |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
(+) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|||
|
ψ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0′ |
|
|||
|
(x) = C′ exp |
~ |
|
|
Z |
W (x′) dx′ , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
213
C′, x′0 сталi величини. Однак для цiєї функцiї не iснує iнтеґрала нормування, оскiльки ранiше ми прийняли, що при x → ±∞ цей показник експоненти прямує до +∞, i тим самим забезпечили умову нормування ψ0 хвильової функцiї основного стану
оператора ˆ . Отже, ми доходимо висновку, що такого стану не
H−
ˆ |
|
|
|
iснує, тобто в оператора H+ вiдсутнє власне значення, яке дорiв- |
|||
ˆ |
|
ˆ |
|
нює нулевi. Таким чином, власнi значення операторiв H |
+ |
та H |
− |
ˆ |
|
||
збiгаються, за винятком того, що оператор H− має ще додаткове
власне значення, рiвне нулевi.
Одержанi вище результати дають змогу побудувати власнi
функцiї збуджених станiв оператора ˆ та вiдповiднi їм власнi
H−
значення. Покажемо це. Отже, нехай функцiя W , яку ми назива-
тимемо також суперсиметричним потенцiалом, залежить вiд змiнної x i вiд сукупностi параметрiв, якi ми позначимо однiєю лiтерою
α:
|
|
W = W (x; α). |
|
|
|
||
|
|
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
Це означає, що i гамiльтонiани H+ = H+(α) та H− = H−(α), як |
|||||||
ˆ |
ˆ |
ˆ+ |
ˆ+ |
|
|
(+) |
= |
i оператори A |
= A(α), A |
= A (α) та хвильовi функцiї ψn |
|||||
ψn(+)(x; α), ψn(−) = ψn(−)(x; α), також залежать вiд цих параметрiв.
|
ˆ |
|
|
ˆ |
Спробуймо тепер зобразити оператор H+(α) як оператор H−(α1), |
||||
але з iншим набором параметрiв α1: |
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
H+(α) = H−(α1) + 1, |
|
|
|
|
де 1 = 1(α1) стала величина. Якщо це нам вдається зробити, |
||||
|
|
ˆ |
|
(α ) дорiв- |
то оскiльки найнижче власне значення оператора H |
|
|||
нює нулевi, найнижчий рiвень (n = 1) для |
ˆ |
− |
1 |
|
H+(α) дорiвнює 1, |
||||
а його хвильова функцiя ψ(+)(x; α) = ψ(−) |
(x; α1). А через те, що |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
ˆ |
|
0 |
|
ˆ |
|
(α) збiгаються, то |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
спектри власних значень операторiв H |
− |
(α) i H |
+ |
||||||||||||
виходить, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|||
1 енерґiя першого збудженого стану для H−(α): |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
E(−) = |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а вiдповiдна хвильова функцiя, за знайденим вище рецептом, |
|||||||||||||||
(−) |
|
1 |
|
ˆ+ |
(+) |
|
|
|
1 |
|
ˆ+ |
|
(−) |
|
|
ψ1 |
(x; α) = |
√ |
|
|
A (α)ψ1 (x; α) = |
√ |
|
|
A (α)ψ0 |
(x; α1). |
|||||
|
1 |
1 |
|||||||||||||
214
|
|
|
ˆ |
|
(α ), будуємо його партне- |
|
Робимо наступний крок. Маючи H |
|
|||
ра |
ˆ |
|
|
− |
1 |
H+(α1) i для нього знову намагаємось записати рiвняння |
|||||
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
H+(α1) = H−(α2) + 2, |
||||
2 |
= 2(α2) вже з новим набором параметрiв α2. Тепер 2 |
||||
найнижче власне значення оператора |
ˆ |
||||
H+(α1), тому наступне сто- |
|||||
совно E1(−) власне значення Hˆ−(α1): |
|
|
|||
|
E(−) |
= E(−) + |
2 = |
1 + 2. |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
Хвильова функцiя оператора ˆ
H+(α1)
ψ2(+)(x; α1) = ψ1(−)(x; α2),
а з iншого боку, за нашим рецептом
(−) |
|
√ |
1 |
|
ˆ+ |
(+) |
|
ψ2 |
(x; α) = |
|
|
A (α)ψ2 |
(x; α). |
||
1 + |
2 |
||||||
Далi мiркування, аналогiчнi наведеним вище, дають:
ψ2(−)(x; α) = |
√ |
1 |
1 + |
||
= |
√ |
1 |
1 + |
ˆ+ |
(−) |
(x; α1) |
|
|
||
A (α)ψ1 |
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
ˆ+ |
1 |
|
ˆ+ |
(−) |
|
|
√ |
|
|
|
|||
A (α) |
|
|
A (α1)ψ0 |
(x; α2). |
||
|
|
|||||
22
Продовжуючи цю процедуру для n-го кроку, маємо:
ˆ ˆ
H+(αn−1) = H−(αn) + n
i звiдси спектр енерґiї
En(−) = 1 + 2 + . . . + n,
а хвильовi функцiї |
|
|
|
|
|
|
|
ψ(−)(x; α) = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
p(Δ1 + . . . + |
n)(Δ2 + . . . + |
n) . . . n |
|||
× |
+ |
ˆ+ |
+ |
(−) |
(x; αn), |
||
A (α)A (α1) . . . A (αn−1)ψ0 |
|||||||
215
де хвильова функцiя основного стану визначена рiвнянням
|
|
|
|
|
ˆ |
(−) |
(x; αn) = 0, |
|||
|
|
|
|
|
A(αn)ψ0 |
|||||
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ d |
|
( |
) |
|
|||
|
|
√ |
|
|
|
+ W (x; αn) ψ0− |
|
(x; αn) = 0. |
||
|
dx |
|
||||||||
|
2m |
|
||||||||
|
Наша задача розв’язана: остаточно спектр енерґiї вихiдного |
|||||||||
|
ˆ |
|
|
|
|
|||||
гамiльтонiана H дорiвнює |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
En = E0 + |
1 + 2 + . . . + n, |
||||||
а хвильовi функцiї |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ψn(x; α) = ψn(−)(x; α). |
|||||
|
Для практичного розв’язування задач запишемо рекурентне |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
спiввiдношення мiж гамiльтонiанами H+(αn−1) i H−(αn) через ре-
курентнi спiввiдношення мiж функцiями W (x, αn) та W (x, αn−1)
та їхнiми похiдними, виходячи безпосередньо з означень цих гамiльтонiанiв:
W 2(x; αn−1) + √~ W ′(x, αn−1) 2m
= W 2(x; αn) − √~ W ′(x, αn) + n.
2m
Проiлюструємо наведенi вище загальнi результати конкретними прикладами4.
Зробимо спочатку вправу для гармонiчного осцилятора. Функцiю W ми вже записували вище:
√ |
|
|
2 |
x, α = 1/2. |
|
W = α |
2mω |
Наша рекурентна формула тепер дає:
2mω2α2n−1x2 + αn−1~ω = 2mω2α2nx2 − αn~ω + n.
4Читача, якого цiкавить загальний розв’язок рекурентного рiвняння для суперпотенцiала W , вiдсилаємо до книжки Ф. М. Морс, Г. Фешбах. Методи
теоретичної фiзики. М.: Изд-во иностр. лит., 1958, с. 731.
216
Звiдси маємо, що αn не залежить вiд iндексу n,
α2n−1 = α2n,
тобто
αn = α = 1/2,
а
n/~ω = αn−1 + αn = 1.
Тому рiвнi енерґiї з урахуванням енерґiї основного стану E0 = ε = ~ω/2 маємо такi:
En = E0 + 1 + . . . + n = E0 + n~ω = ~ω(n + 1/2), n = 1, 2, . . . .
Хвильова функцiя основного стану
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
√ |
|
|
ωr |
|
|
|
|
|
|
|
mω |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
x , |
|||||
|
|
|
~ |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
ψ0(x) = C exp − |
|
|
|
|
|
Z |
x′ dx′ = C′e− 2~ |
|||||||||||
де сталу C = C exp |
mω |
2 |
знаходимо з умови нормування, C′ = |
|||||||||||||||
(mω/π~)1/4′, i маємо |
2~ |
x0 |
||||||||||||||||
|
|
|
mω |
|
1/4 |
|
|
|
|
|
|
mω |
|
|
||||
ψ0(x) = |
|
|
exp |
− |
|
x2 . |
|
|
||||||||||
|
π~ |
2~ |
|
|
||||||||||||||
Хвильовi функцiї збуджених станiв iз загальної формули дорiвнюють
|
|
1 |
ˆ+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
ˆ+ |
1 |
|
ˆ+ |
|
||||||
|
ψn(x) = |
√ |
|
|
A |
p |
|
|
|
A . . . |
√ |
|
|
A ψ0 |
(x) |
||||||
|
~ωn |
~ω(n − 1) |
~ω |
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
+ n |
1 |
|
ˆ+ n |
|
|
||||||||||
|
= |
p |
|
(A ) ψ0(x) = |
√ |
|
|
(b ) ψ0(x), |
|
||||||||||||
де |
(~ω)nn! |
n! |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
d |
+ ξ , |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ˆb+ = |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
dξ |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
i збiгаються зi знайденими в §22.
Нехай тепер потенцiальна енерґiя частинки
U = − U0 ch2(x/a)
217
це так званий модифiкований потенцiал Пешля–Теллера, де сталi величини U0 > 0, a > 0. Спробуймо, дивлячись на зв’язок мiж U та функцiєю W , записати останню в такому виглядi:
|
|
|
W = W0th (x/a). |
|
|
|
|
||||||||||
За означенням, маємо, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
U = W 2 |
~ |
W ′ + ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
− |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
W02 th2(x/a) − W0r |
~2 |
|
|
|
|
1 |
+ ε |
|||||||||
2ma2 |
|
ch2(x/a) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
~2 |
|
1 |
|
||||||
= |
W02 |
+ ε − W0 W0 + r |
|
|
! |
|
. |
||||||||||
2ma2 |
ch2(x/a) |
||||||||||||||||
Якщо покласти
W02 + ε = 0,
r!
W0 W0 + |
~2 |
= U0, |
|
2ma2 |
|||
|
|
то ми i справдi приходимо до вихiдної функцiї U = U(x).
Уведемо знерозмiрений параметр
|
|
|
|
,r |
|
|
|
|
α = W0 |
~2 |
, |
||||||
|
|
2ma2 |
||||||
тодi |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~2 |
|
|
|
|
|
|
||
W = r |
|
|
α th ξ, ξ = x/a, |
|||||
2ma2 |
||||||||
~2
U0 = 2ma2 α(α + 1).
Запишемо наше головне рекурентне спiввiдношення для функцiй
W (x; αn):
2 2 |
α |
2 2 |
α |
|
~2 |
|
n−1 |
n |
|
n |
|
||
αn−1th ξ + |
ch2ξ |
= αnth ξ − |
ch2ξ |
+ |
2ma2 |
|
218
або |
|
|
|
n |
|
|
(αn2 |
−1 − αn−1)th2ξ + αn−1 = (αn2 + αn)th2ξ − αn + |
~2 |
. |
|||
2ma2 |
||||||
Звiдси знаходимо, що |
|
|
|
|||
|
αn−1(αn−1 − 1) = αn(αn + 1), |
|
|
|
||
|
~2 |
(αn−1 + αn). |
|
|
|
|
|
n = |
|
|
|
|
|
|
2ma2 |
|
|
|
||
Перше рiвняння задовольняємо пiдстановкою5 αn |
= const − n, |
|||||
причому α0 = α, тому const = α. Пiсля цього знаходимо αn =
α − n, n = 0, 1, 2, . . .; n < α, оскiльки лише за умови αn > 0 iснує
нормована хвильова функцiя, а
~2
n = (1 + 2α − 2n)2ma2 .
Беручи до уваги й енерґiю основного стану
|
|
E0 = ε = −W02 |
~2 |
α2, |
|
|
|
||||||||||||
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2ma2 |
|
|
|
||||||||||||||||
знаходимо дискретнi енерґетичнi рiвнi |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~2 |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
En |
|
|
= −α2 + n′=1(1 + 2α − 2n′) |
|
|||||||||||||||
2ma2 |
|
||||||||||||||||||
= −α2 + (1 + 2α)n − n(n + 1) = −(α − n)2, n < α |
|||||||||||||||||||
або, повертаючись до вихiдного параметра U0, |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
s1 + U0 |
~2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
α = |
|
|
|
|
− |
|
, |
|
|
|
|||||||
|
2 |
8ma2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||
остаточно маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
"−(1 + 2n) + s1 + U0 |
|
|
|
|
|||||||||||
~2 |
|
~2 |
|
# , |
|||||||||||||||
En = − |
|
|
|
||||||||||||||||
8ma2 |
8ma2 |
||||||||||||||||||
5Можна просто розкласти αn у ряд за степенями n i з цього рiвняння
знайти зв’язок мiж коефiцiєнтами розкладу: очевидно, що прийдемо до такого ж результату.
219
i отже, оскiльки n < α, то є скiнченне число дискретних рiвнiв.
Знайдемо хвильову функцiю основного стану:
|
|
√ |
x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
||
ψ0(x) = |
C exp − |
|
~ |
Z |
|
W (x′) dx′ |
|
||||
|
|
α |
|
x |
|
x |
|
|
|
||
|
|
x0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
C exp − |
a |
|
Z |
th |
a |
dx = C |
′ exp [−α ln(ch ξ)] |
|||
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ0(x) = C′ |
|
|
1 |
, |
|
|||||
|
|
|
|||||||||
|
chα(x/a) |
|
|||||||||
а сталу C′ = Cchα(x0/a) визначаємо з умови нормування:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|C′|2 |
2a Z0 |
|
|
dξ |
= 1. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ch2αξ |
|
|||||||||||
Цей iнтеґрал є табличним, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
µ |
|
|
|
µ+1 |
|
ν−µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
sh ξ |
dξ = |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
, Re µ > 1, Re (µ ν) < 0, |
|||||||||
0 |
ν |
|
ν+1 |
|
|
|
|||||||||||||
ch ξ |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
− |
− |
|||||||||
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
i дорiвнює √ |
|
(α)/2 (α + 1/2), тому остаточно |
|
||||||||||||||||
π |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ψ0(x) = s |
(α + 1/2) |
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
a√ |
|
(α) |
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
chα(x/a) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|||||||||||||
Хвильову функцiю першого збудженого стану знаходимо iз загальної формули:
√1 ˆ+
ψ1(x) = A (α)ψ0(x; α1)
1
220