Вакарчук І.О. Квантова механіка

як i при обчисленнi сталої нормування, ми використали те, що

ˆ+ˆ

b b ψn = nψn,

а

ˆˆ+

bb ψn = (n + 1)ψn.

Ми знайшли важливi рiвняння:

ˆ+

√

b ψn = n + 1 ψn+1,

ˆ

√

b ψn = n ψn−1.

Таким чином, згiдно з цими правилами, оператор породження збiльшує iндекс стану хвильової функцiї на одиницю, а оператор знищення зменшує його на одиницю.

Маючи цi правила, легко знаходимо матричнi елементи операторiв координати й iмпульсу та їхнiх степенiв. З означення опера-

торiв ˆ та ˆ+ випливає, що b b

201

pi

+n(n − 1) δn′,n−2 ,

Аналогiчно знаходимо матричнi елементи i для степенiв оператора pˆ: їх отримуємо з наведених вище формул замiною множника (~/2mω)1/2 на i m~ω/2, а в дужках знаки “+” бiля доданкiв з

де

,r

~

ξ = x mω .

Знайдемо явний вигляд вакуумного стану ψ0 = ψ0(ξ), виходячи з

його означення:

ˆ

bψ0 = 0,

202

ξψ0 + dψdξ0 = 0.

Очевидно, що

ψ0 = Ce−ξ2/2,

де сталу нормування отримуємо з умови R−∞∞ |ψ0|2dx = 1,

C = mω 1/4 , π~

так що хвильова функцiя

ψ0(ξ) = mω 1/4 e−ξ2/2. π~

Тепер, за означенням, хвильова функцiя збудженого стану

де полiном Ермiта, з яким ми вже знайомi з попереднього параграфа

Hn(ξ) = eξ2/2 ξ − dξd n e−ξ2/2 = eξ2 −dξd n e−ξ2 .

Метод операторiв породження i знищення широко використовують у рiзних задачах квантової теорiї. Розглянуте представлення застосовується до опису електромагнiтного поля, коливань ґратки, явища надплинностi i т. д. Це представлення є частковим випадком загального представлення вторинного квантування, як його називають, або представлення чисел заповнення для випадку, коли частинки або елементарнi збудження мають цiлий спiн випадок статистики Бозе–Айнштайна.

Торкнемось ще питання когерентних станiв. Розгляньмо формально рiвняння на власнi значення для оператора знищення:

203

iндекс представлення (квантове число). Оператор ˆ неермiто-

α b

вий, тому його власне значення

α= Re α + i Im α

комплексне число. Набiр функцiй ψα утворює повну систему. Функцiї ψα називають ще когерентними станами1. Вони є тими

станами, якi мiнiмiзують невизначенiсть Гайзенберґа:

де усереднення вiдбувається за станами ψα. У цьому легко пере-

конатись, якщо рiвняння на мiнiмiзуючий пакет, яке ми розгляда-

ли ранiше, порiвняти з рiвнянням на власне значення оператора ˆ b

в координатному представленнi цi рiвняння (з точнiстю до множника) є однаковими. Тому представлення когерентних станiв ψα

ще називають представленням мiнiмiзуючих хвильових пакетiв. Цiкаво навести розклад ψα в ряд за власними станами опера-

тора ˆ+ˆ, тобто за хвильовими функцiями осцилятора . Просте b b ψn

доведення цього спiввiдношення залишаємо читачевi (див. також Приклад 3 для цього параграфа):

Приклад 1. Матричний пiдхiд до осциляторної задачi. Запишемо рiвняння Еренфеста, тобто рiвняння руху для операторiв координати та iмпульсу

Поставимо ще по однiй крапцi злiва i справа в першому рiвняннi i, скориставшись другим, знаходимо

Вiзьмемо матричний елемент, побудований на власних функцiях оператора

ˆ :

H

x¨kn + ω2xkn = 0.

1Назва вiдображає той факт, що Р. Ґлаубер цi стани застосував для дослi-

дження когерентних джерел свiтла (1963 р.). Уперше цi стани розглянув ще в 1926 роцi Е. Шрединґер.

204

Далi пригадаємо, що з рiвнянь Гайзенберґа випливає

x˙ kn = iωknxkn,

x¨kn = iωknx˙ kn = −ωkn2 xkn,

i тому наше рiвняння дає

ω2 − ωkn2 xkn = 0.

Отже, xkn 6= 0 лише за умови, що ωkn = ±ω. Перенумеруємо елементи матрицi xkn так, щоб ненульовi значення позначались сусiднiми iндексами:

6= 0, ωn±1,n = ±ω. Вираз для енерґiї знайдемо, обчисливши дiаго-

нальний матричний елемент гамiльтонiана,

=m X x˙ nkx˙ kn + mω2 X xnkxkn

2 2

k k

+m2 ω2(xn,n+1xn+1,n + xn,n−1xn−1,n)

= mω2 x2 + x2 − ,

n+1,n n 1,n

нагадаємо, що з умови ермiтовостi оператора координати xkn=xnk. З перестав-

205

решта xn,k = 0. З виразу для енерґiї знаходимо

тобто

En = ~ω(n + 1/2).

Задача розв’язана: знайдено рiвнi енерґiї та матричнi елементи операторiв.

Приклад 2. Iмпульсне представлення для осциляторної задачi. У цьому

Або, опускаючи фазовий множник i згадавши означення полiномiв Ермiта, остаточно маємо:

Приклад 3. Когерентнi стани. Знайдемо розклад когерентних станiв за хвильовими функцiями гармонiчного осцилятора i доведемо їхню повноту.

Працюємо в позначеннях Дiрака, i отже,

X∞

|αi = Cn|ni,

n=0

206

|ni кет-вектори гармонiчного осцилятора. Пiдставимо цей розклад у рiвня-

ння на власнi значення оператора знищення

ˆ| i | i b α = α α

i знаходимо

n′ → n), знаходимо, зважаючи на ортонормованiсть станiв |ni, hn′|ni = δn′ n,

рекурентне спiввiдношення:

X

n=0

i отже

207

hα|α′i = e−|α|2/2−|α′ |2/2+α α′ .

Очевидно

|hα|α′i|2 = e−|α−α′|2 .

Доведемо повноту когерентних станiв:

Z

dα |αihα| = 1.

Iнтеґрування тут вiдбувається в комплекснiй площинi з вагою 1/π, яка за-

безпечує правильне нормування: можемо iнтеґрувати за дiйсною i уявною частиною α в безмежних межах або за модулем ρ = |α| i фазою ϕ, α = ρeiϕ, (0 ≤ ρ < ∞, 0 ≤ ϕ ≤ 2π). Використовуючи знайдений вище розклад, маємо:

Тут iнтеґрал за ϕ дає 2πδn′ n, а iнтеґрал за x = ρ2 дорiвнює n!, крiм того,

ми використали умову повноти хвильових функцiй гармонiчного осцилятора. Отже, когерентнi стани утворюють повний набiр.

§ 23. Метод факторизацiї для визначення власних значень

та власних функцiй операторiв

Метод операторiв породження i знищення, який ми застосували до розв’язку рiвняння Шрединґера для гармонiчного осцилятора, дозволяє провести його узагальнення й на iншi задачi. Такий пiдхiд називають методом факторизацiї у зв’язку з тим, що гамiльтонiан записують як добуток двох операторiв. Уперше цей метод винайшов Е. Шрединґер у 1940 р. (вiн працював тодi в Дублiнi). Зазвичай, метод факторизацiї не входив до пiдручникiв (крiм задачi про гармонiчний осцилятор). Винятком є невеличка за обсягом книжка Г. Ґрiна2, де цей метод покладено в основу

2Див. Х. Грин. Матричная квантовая механика. М.: Мир, 1968.

208

розв’язування задач на власнi функцiї та власнi значення. Останнiм часом метод факторизацiї дiстав подальший розвиток.

Отже, розглянемо в одновимiрному просторi рух частинки маси m з координатою x у силовому полi з потенцiальною енерґiєю U = U(x). Гамiльтонiан

pˆ оператор iмпульсу. Наше завдання знайти власнi функцiї

тут W = W (x) деяка функцiя координати, яку потрiбно буде

знайти. Надалi працюємо в координатному зображеннi, коли оператор iмпульсу pˆ = −i~ d/dx. Беремо до розгляду такi добутки

операторiв ˆ та ˆ+:

A A

штрих бiля W означає похiдну за координатою x. Припускаємо, що ми так пiдiбрали невiдому функцiю W , що гамiльтонiан можна

подати у факторизованому виглядi,

ˆ ˆ+ ˆ

H = A A + ε,

209

тобто, що потенцiальна енерґiя

сталу величину ε називають енерґiєю факторизацiї. Порiвняймо

цi нашi припущення з тим, що ми мали для гармонiчного осцилятора:

p p

U = mω2x2/2, W = ωx m/2, W ′ = ω m/2, ε = ~ω/2;

Розглянемо тепер рiвняння на власнi значення ˆ для основ-

H

ного стану (n = 0):

ˆ+ ˆ

(A A + ε)ψ0 = E0ψ0.

Визначимо основний стан подiбно до гармонiчного осцилятора рiвнянням

ˆ

Aψ0 = 0,

тодi енерґiя основного стану E0 дорiвнюватиме енерґiї фактори-

зацiї,

E0 = ε.

У явному виглядi, зважаючи на означення оператора ˆ, рiвняння

A

на ψ0 є таким:

нижня межа iнтеґрування визначена сталою нормування C, оскiльки ψ0(x0) = C. Для того щоб функцiя ψ0(x) була хвильо-

вою функцiєю основного стану, вона (як ми вже знаємо з §10) не

210