Вакарчук І.О. Квантова механіка

частинами знову отримуємо, що iнтеґрал дорiвнює нулевi. Отже, хвильовi функцiї є ортогональними, як i повинно бути. Якщо n = n′, то похiднi пiд iнтеґралом дають внесок лише вiд максимального степеня полiнома. Цей внесок дорiвнює 2nn!. З умови

нормування

причому

Z ∞

ψn′ ψn dx = δn′,n.

−∞

Стани є невиродженими, i кожному значенню енерґiї вiдповiдає одна хвильова функцiя.

В основному станi, коли n = 0, енерґiя осцилятора має най-

менше значення, але не дорiвнює нулевi:

~ω

E0 = 2

так звана енерґiя нульових коливань. Це наслiдок принципу невизначеностей Гайзенберґа: не може бути одночасно hx2i = 0 i hp2i = 0 (див. Приклади до §7).

Хвильова функцiя основного стану

ψ0(ξ) = mω 1/4 e−ξ2/2. π~

Як бачимо, вона є безвузловою. Хвильова функцiя першого збудженого стану

ψ1(ξ) = mω 1/4 e−ξ2/2√2 ξ, π~

яка вiдповiдає енерґiї E1 = 3~ω/2, має один вузол (рис. 20).

191

Рис. 20. Хвильовi функцiї лiнiйного гармонiчного осцилятора.

Зробимо зауваження. Якщо розглянути задачу про рух частинки в полi з потенцiальною енерґiєю mω2x2/2 для x ≥ 0 i безмежно високою стiнкою при x = 0, то в нашому попередньо-

му розглядi необхiдно врахувати ще додаткову умову: хвильовi функцiї в точцi x = 0 повиннi дорiвнювати нулевi. Цю умову за-

довольняють розв’язки з непарним значенням квантового числа, n = 1, 3, 5, . . .. Це i будуть хвильовi функцiї такого обрiзаного гармонiчного осцилятора за умови, що x ≥ 0.

Приклад 1. Обчислити середнi значення координати hxki для гармонiчно-

го осцилятора.

Виходимо з того, що для будь-якого оператора, незалежного вiд часу,

Оскiльки дiя оператора pˆ /2m = H − U на власнi хвильовi функцiї оператора

ˆ (“налiво” чи “направо”) еквiвалентна множенню на − , де власне

H (E U) E

значення енерґiї, то рiвняння набуває такого вигляду:

4hϕ′(E − U)i + ~2hϕ′′′i/2m − 2hϕU′i = 0.

При ϕ = x отримуємо теорему вiрiалу 2hpˆ2/2mi = hxU′i, тому це рiвняння

називають узагальненою теоремою вiрiалу.

192

Для гармонiчного осцилятора E = ~ω(n + 1/2) квантове число n = 0, 1, 2, . . ., U = mω2x2/2. Покладаючи ϕ = xk, k = 1, 2, . . ., легко знаходимо

Очевидно, що для звичайного гармонiчного осцилятора hxi = 0, однак для “обрiзаного”, коли змiнна x ≥ 0 i квантове число n набуває лише непарних

значень, це середнє вiдмiнне вiд нуля i прямий розрахунок дає: r

hxi = ~ 4 (1 + n/2) , n = 1, 3, 5, . . . .

mω π (1/2 + n/2)

Приклад 2. Знайти розв’язки рiвняння Шрединґера для частинки маси m з гамiльтонiаном циклоїдального маятника (див. Приклад до §9):

чного осцилятора, але з додатковою умовою на хвильовi функцiї: ψ(Q) = 0, Q = ±4a. Передусiм зауважимо, що з усiєї сукупностi розв’язкiв ми можемо

вiдiбрати тi, якi є розв’язками задачi про гармонiчний осцилятор, якщо на полiноми Ермiта накласти умову:

Зрозумiло, що сталi нормування хвильових функцiй будуть iншими, нiж у гармонiчного осцилятора.

Очевидно, що n ≥ 2 i, зокрема, для n = 2 рiвняння на нулi полiнома Ермiта дає зв’язок мiж частотою, масою й параметром a: ω = ~/32ma2, при

193

цьому енерґiя E = 5~2/64ma2. Аналогiчно для n = 3 маємо ω = 3~/32ma2,

E = 21~2/64ma2; для n = 4, ω = (3 ± √6)~/32ma2, E = 9(3 ± √6)~2/64ma2. Читач може знайти такi розв’язки i для вищих значень n.

За термiнологiєю, введеною в §18, це i є “квазiточнi розв’язки”, оскiльки вони iснують лише за певних зв’язкiв мiж параметрами гамiльтонiана (у

нашiй задачi мiж ω i ma2).

Тепер звернiмося до точного розв’язку цiєї задачi. У загальному випадку рiвняння Шрединґера (записане в знерозмiрених змiнних ξ) має два лiнiйно

незалежнi, парний i непарний, розв’язки:

де M(a, b, z) так звана вироджена гiпергеометрична функцiя (див., на-

приклад, Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. М.: Наука, 1979, на стор. 321), яка в частковому випадку зводиться до полiномiв Ермiта,

n = 0, 1, 2, . . . ; C1, C2 сталi нормування.

Рiвнi енерґiї знаходимо з умови рiвностi нулевi хвильової функцiї в точках

Q = ±4a:

осцилятора й частинки в прямокутнiй потенцiальнiй ямi з безмежно високими стiнками шириною 4a.

194

У таблицi подано величини νn для кiлькох перших станiв, знайденi чисельними методами при рiзних значеннях параметра η, причому λn з парни-

ми iндексами дає перше рiвняння, а з непарними друге. Серед цих значень

√

рiвнiв енерґiї є також “квазiточнi розв’язки” (при η = 1/2, 3/2, (3 ± 6)/2), знайденi вище. Очевидно, при η → ∞ рiвнi енерґiї збiгаються з енерґетичним

спектром звичайного гармонiчного осцилятора.

§ 22. Гармонiчний осцилятор. Метод операторiв

породження та знищення

Почнiмо з того, що знову запишемо вихiднi вирази для оператора Гамiльтона нашої задачi, переставнi спiввiдношення для операторiв координати й iмпульсу та рiвняння на власнi функцiї i власнi значення, не конкретизуючи представлення:

195

Гамiльтонiан є квадратичною формою, i напрошується його розклад на “простi множники”. Для цього введемо оператори

Так що переставнi спiввiдношення для цих операторiв:

Подiємо злiва на це рiвняння оператором ˆ+: b

196

Ми знову прийшли до рiвняння на власнi функцiї та власнi значення, але з енерґiєю, збiльшеною на ~ω, i з хвильовою фун-

Проводячи аналогiчнi перетворення i далi, отримаємо такий ланцюжок для хвильових функцiй та вiдповiдних значень енерґiї:

197

такi ж мiркування, як i щойно наведенi, дають

′ ˆ

ψ1 = bψ.

Отже, якщо вiдповiдала енерґiя , то ′ ˆ енерґiя на

ψ E ψ1 = bψ

квант ~ω менша: E − ~ω. Повторюючи цей процес, приходимо до

ратор знищення квантiв. Пiдберемо тепер цю стартову хвильову функцiю так, щоб енерґiя, яка їй вiдповiдає, була найменшою, тобто мова йде про основний стан. Означення основного стану, або, як його ще називають, вакуумного стану ψ0, фiксуємо рiвнянням:

ˆ

bψ0 = 0.

Це постулат, який ми приймаємо без доведення на пiдставi iнтуїтивних мiркувань: станiв з енерґiєю меншою, нiж мiнiмальне значення, уже не iснує, хвильовi функцiї таких станiв просто дорiвнюють нулевi. Можна мiркувати ще й так. Вiзьмемо середнє значення гамiльтонiана за деякою хвильовою функцiєю ψ:

198

Звiдси маємо, що завжди h ˆ i ≥ ~ , а мiнiмальне значення енер-

H ω/2

ґiї ~ω/2 досягається для такої функцiї ψ, яка задовольняє умову

ˆ . А це i є наше означення основного стану. bψ = 0

З рiвняння Шрединґера, беручи до уваги означення ψ0, зна-

“Перекиньмо” дiю оператора ˆ+ направо, увiвши транспонова-

(b )

199

Тепер маємо

2

Cn

n = 1

Cn−1

або з точнiстю до фазового множника, з якою визначаються хвильовi функцiї,

En = ~ω(n + 1/2).

Пiдкреслимо, що ми отримали цей результат, не переходячи до конкретного зображення, на якому реалiзується алґебра операто-

200