Вакарчук І.О. Квантова механіка

Г Л А В А IV

НАЙПРОСТIШI ЗАДАЧI КВАНТОВОЇ МЕХАНIКИ

§ 20. Частинка в одновимiрнiй прямокутнiй потенцiальнiй

ямi з безмежно високими стiнками

Розглянемо рух частинки в одновимiрному прямокутному ящику з непроникними стiнками, U(0) = U(a) = ∞; U(x) = 0, 0 < x < a, a розмiр ящика.

Стацiонарне рiвняння Шрединґера запишеться так:

з граничними умовами, що забезпечують непроникнiсть стiнок:

ψ(0) = ψ(a) = 0.

Загальний розв’язок рiвняння

ψ(x) = C sin(kx + δ),

C, k, δ сталi, якi однозначно визначаються з граничних умов

та умови нормування:

Z a

|ψ(x)|2dx = 1.

0

181

Стан з n = 0 вiдсутнiй, вiн тотожно дорiвнює нулевi. Стани

звiд’ємними числами n з точнiстю до фазового множника eiπ виявляються однаковими зi станами, для яких n > 0. Фазовий

множник не впливає на фiзичнi результати, а оскiльки хвильова функцiя визначається з точнiстю до фазового множника, то стани

зn > 0 та з n < 0 збiгаються. Далi беремо до уваги лише додатнi квантовi числа n. З умови нормування маємо

Розглянута задача є доброю iлюстрацiєю загальних висновкiв, зроблених ранiше щодо властивостей власних функцiй та власних значень ермiтових операторiв. Хвильова функцiя основного стану ψ1(x) на промiжку 0 < x < a не має вузлiв, вона є дiйсною i додатною. Наступна функцiя ψ2(x), що описує перший збуджений стан, має один вузол при x = a/2 (див. рис. 18) i т. д.

Частинка, рухаючись в обмеженому об’ємi простору, має дискретнi рiвнi енерґiї, причому, вiдповiдно до принципу невизначеностей, характерний масштаб енерґiї ~2/2ma2. Система {ψn(x)}

утворює повний набiр ортонормованих хвильових функцiй,

Z a

ψn(x)ψn′ (x)dx = δn,n′ .

0

182

Рис. 18. Хвильовi функцiї двох нижнiх станiв частинки в ящику.

Повнота функцiй дає змогу отримати чимало цiкавих спiввiдношень. Вiзьмемо, наприклад, функцiю ψ(x) = 1/√a, 0 < x < a, ψ(0) = ψ(a) = 0. Розкладемо її в ряд:

З умови замкненостi

X∞

|Cn|2 = 1

n=1

183

отримаємо також цiкавий результат

дзета-функцiя Рiмана ζ(2).

Приклад 1. Хвильова функцiя частинки в одновимiрнiй прямокутнiй безмежно глибокiй потенцiальнiй ямi в iмпульсному зображеннi. За означенням, хвильова функцiя в iмпульсному зображеннi

де ψn(x) взято з основного тексту цього параграфа. Розподiл за iмпульсами

Очевидно повинна виконуватись умова

Z∞

|C(p)|2dp = 1.

−∞

Перевiрмо її. Зробимо замiну змiнної iнтеґрування

x = pa/2~ + πn/2

184

тимчасове позначення α = πn. Iнтеґрал є табличним (див., наприклад, Град-

штейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971, на стор. 463), i тепер

оскiльки α = πn.

Приклад 2. Рух частинки в одновимiрнiй прямокутнiй потенцiальнiй ямi скiнченної глибини. Нехай потенцiальна енерґiя частинки U(x) = 0, 0 ≤ x ≤ a i U(x) = U = const для x > a та x < 0. Розв’язок рiвняння Шрединґера в

серединi ями беремо з §20:

ψ(x) = C sin(kx + δ), E = ~2k2/2m.

Для дiлянок поза ямою, коли енерґiя E < U, хвильова функцiя є очевидно

експоненцiально спадною:

ψ1(x) = C1eκx, x < 0; ψ2(x) = C2e−κ(x−a), x > a,

причому енерґiя E = U − ~2κ2/2m.

З умов зшивання хвильових функцiй, тобто прирiвнювання в точках x = 0, x = a хвильових функцiй i їхнiх похiдних, знаходимо таку систему рiвнянь:

C sin δ = C1, Ck cos δ = C1κ при x = 0;

C sin(ka + δ) = C2, Ck cos(ka + δ) = −C2κ при x = a.

Iз вiдношення перших та других двох рiвнянь маємо: tgδ = k/κ, tg(ka + δ) = −k/κ.

185

Звiдси випливає, що кути δ i (−ka − δ) можуть вiдрiзнятися хiба що на nπ, де n = 1, 2, . . .. Отже,

p √

2arcsin E /U + E = nπ.

Якщо яма нескiнченно глибока, U → ∞, ми, зрозумiло, приходимо до рiвнiв енерґiї En = ~2π2n2/2ma2, якi знайденi в цьому параграфi, а в за-

гальному випадку це рiвняння розв’язуємо чисельними методами. Зокрема, при U = 1 маємо один рiвень E = 0.810661; при U = 5 також є один рiвень E = 2.485569; при U = 13 виникає другий рiвень: E1 = 3.917762, E2 = 12.501569; при U = 43 виникає вже третiй рiвень: E1 = 5.731783,

E2 = 21.991611, E3 = 42.430476.

§21. Гармонiчний осцилятор. Хвильовий пiдхiд

Укласичнiй механiцi гармонiчним осцилятором називають систему, функцiя Гамiльтона якої

H = p2 + mω2 x2.

2m 2

Розв’язки класичних рiвнянь руху добре вiдомi:

x = x0 sin(ωt + δ),

p = mωx0 cos(ωt + δ),

тут ω частота коливань, x0 амплiтуда, δ початкова фаза. Енерґiя E набуває неперервний ряд значень:

E = mω2 2 x20.

186

У квантовiй механiцi iмпульс та координату замiнюємо на оператори. Тодi гамiльтонiан гармонiчного осцилятора

Завдання полягає в знаходженнi розв’язку рiвняння Шрединґера

ˆ

Hψ = Eψ.

Iншими словами, нам необхiдно вiдшукати власнi функцiї та вла-

снi значення оператора ˆ .

H

Розглянемо спочатку пiдхiд на основi хвильової механiки. У координатному зображеннi рiвняння Шрединґера має такий вигляд:

Уведемо знерозмiрену величину ξ = x/l0, де l0 = ~/mω хара-

амплiтуда). Знерозмiримо

З фiзичних мiркувань, беручи до уваги зростання потенцiальної енерґiї при x → ±∞, випливає, що ψ → 0 при ξ → ±∞. У цьому

випадку права частина рiвняння прямує до нуля швидше, нiж лiва:

−d2ψ(ξ) + ξ2ψ(ξ) = 0. dξ2

Отже, при великих значеннях ξ розв’язок рiвняння ψ(ξ) exp(±ξ2/2). З фiзичних мiркувань, знак “+” вiдкидаємо, i хвильова функцiя в цiй границi ψ(ξ) exp(−ξ2/2). Звiдси випливає,

що хвильову функцiю можна зобразити так:

ψ(ξ) = CH(ξ)e−ξ2/2,

причому невiдома функцiя H(ξ) на безмежностi не повинна зростати швидше, нiж exp(ξ2/2), C стала нормування.

187

Пiдстановка цього виразу в рiвняння Шрединґера дає

У першому доданку покладаємо k − 2 = k′, а потiм k′ знову перепозначаємо через k:

X (k + 2)(k + 1)ak+2 − 2kak + 2E − 1 ak ξk = 0.

k≥0

~ω

Для того щоб сума степеневого ряду дорiвнювала нулевi, необхiдно, щоб кожний член ряду дорiвнював нулевi. Це дає рекурентне рiвняння для невiдомих коефiцiєнтiв ak:

2k + 1 − 2E/~ω ak+2 = ak (k + 2)(k + 1) .

При великих значеннях k знаходимо, що ak+2 = 2ak/k. Звiдси бачимо, що для коефiцiєнтiв з парними значками a2k 1/k!, i наш ряд для H(ξ) дає H(ξ) exp(ξ2). У результатi хвильова функцiя не буде задовольняти граничних умов ψ → 0, ξ → ±∞. Для їх забезпечення обриваємо ряд, покладаючи an+2 = 0, але an 6= 0:

2n + 1 − 2E/~ω = 0.

Це рiвняння визначає рiвнi енерґiї E = En гармонiчного осци-

188

Рис. 19. Рiвнi енерґiї лiнiйного гармонiчного осцилятора.

вони, як бачимо, є еквiдистантними (див. рис. 19). При цьому коефiцiєнти

2(k − n) ak+2 = ak (k + 2)(k + 1),

а функцiя H(ξ) = Hn(ξ):

Xn

Hn(ξ) = akξk

k=0

полiном Ермiта. Оскiльки стала нормування ще не визначена, за вже давньою домовленiстю, вибираємо коефiцiєнт при ξn рiвним 2n, решта знаходимо з рекурентних спiввiдношень:

189

Виявляється, що полiноми Ермiта можна записати в дуже зручнiй формi:

Hn(ξ) = eξ2 −dξd n e−ξ2 .

Справдi, неважко переконатись, що цей вираз задовольняє рiвняння для функцiї H(ξ), якщо енерґiя E = En. Полiном Ермiта

можна зобразити i так:

Hn(ξ) = eξ2 −dξd n e−ξ2 = eξ2/2 ξ − dξd n e−ξ2/2.

З цього означення та стартового рiвняння для полiномiв Ермiта легко доводимо рекурентнi спiввiдношення для них:

Hn+1(ξ) = 2ξHn(ξ) − 2nHn−1(ξ),

dHn(ξ) = 2nHn−1(ξ). dξ

Отже, хвильовi функцiї гармонiчного осцилятора

ψn(x) = Cne−ξ2/2Hn(ξ).

Сталi Cn вважаємо дiйсними величинами i знаходимо їх з умови

нормування. Для цього пiдрахуємо iнтеґрал

Ми використали явний вигляд полiнома Ермiта. Нехай n′ < n i iнтеґруємо n разiв частинами:

Похiдна пiд iнтеґралом при n′ < n дорiвнює нулевi, а отже, iнтеґрал також дорiвнює нулевi. Якщо n > n′, то розкриваємо явно полiном Hn′ (ξ) i проводимо так само n′-кратне iнтеґрування

190