- •Частина II Диференціальне числення функцій багатьох змінних Розділ 1. Поняття дійсної функції багатьох змінних
- •Розділ 2. Диференційовність функцій багатьох змінних § 1. Поняття диференційовної функції. Часткові похідні. Необхідні умови диференційовності
- •§ 2. Достатні умови диференційовності функції багатьох змінних
- •§ 3. Диференційовність складної функції.
- •§ 4. Інваріантність форми диференціала функції багатьох змінних.
- •§ 5. Похідна за напрямком. Градієнт.
- •Розділ 3. Частинні похідні і диференціали вищих порядків § 1. Частинні похідні вищих порядків
- •§ 2. Достатні умови незалежності змішаних частинних похідних від порядку диференціювання.
- •§ 3. Диференціали вищих порядків
- •§ 4. Формула Тейлора для функцій багатьох змінних
- •Розділ 4. Неявні функції § 1. Існування неявної функції однієї змінної
- •§ 2. Існування неявної функції багатьох змінних
- •§ 3. Існування неявної функції, яка задається системою рівнянь
- •Розділ 5. Екстремуми функцій § 1. Поняття екстремума функцій багатьох змінних
- •§ 2. Деякі відомості з теорії квадратичних форм
- •§ 3. Достатні умови існування екстремуму
- •§ 4. Умовний екстремум
- •Частина III. Розробка електронного посібника “Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функцій багатьох змінних”
- •Програмне середовище підручника
- •Як працювати з підручником?
§ 3. Диференціали вищих порядків
Нехай маємо функцію U=f(x1,…,xn), яка диференційовна в деякій області D. Тоді в кожній точці цієї області існує диференціал , який є функцією від зміннихх1,...хп.
Припустимо, що в точці М0(х1(0),...,хп(0)) наша функція двічі диференційовна. Тоді диференціал від диференціала 1-го порядку, називається другим диференціалом або диференціалом 2-го порядку і позначається d2U=d(dU).
Нехай х1,...хп– незалежні аргументи, тоді
.
Врахувавши, що змішана частинна похідна не залежить від порядку диференціювання, одержимо:
Введемо символ . Тоді dU можна записати у вигляді ;
.
Аналогічно під диференціалом 3-го порядку будемо розуміти d(d2U). Якщо хі незалежні аргументи, то міркуючи аналогічно можна одержати, що
.
Аналогічно вводиться диференціал k-го порядку функції U і символічна форма його буде такою:
.
При цьому піднесення символа до степеня k виконується аналогічно, як піднесення многочлена до цього степеня.
Коли ми розглядали диференціал 1-го порядку, то його форма не залежала від того чи хі незалежні змінні, чи є функціями від інших змінних.
Подивимось, чи зберігається форма диференціала, для вищих порядків. Для простоти, розглянемо функцію 2-х змінних.
Нехай U=f(x;y) і при цьому х і у є функціями від інших змінних. Тоді d2U=d(dU)=d(fxdx+fydy)=d(fxdx)+d(fydy)=dxd(fx)+fxd(dx)+dyd(fy)+fyd(dy)=
.
Як бачимо, тут появилося два доданки, яких не було в диференціалі 2-го порядку, коли х і у незалежні змінні. Отже, диференціал 2-го, а значить і вищих порядків, не має властивості інваріантності форми, якою володіє диференціал 1-го порядку.
Проте, легко бачити, що якщо хі лінійно залежать від змінних t1,…,tk, то диференціали d2x1=d2x2=…=d2xn=0 і при цьому форма диференціала зберігається. В цьому випадку можна записати:
.
§ 4. Формула Тейлора для функцій багатьох змінних
Як відомо, для функції U=F(t) (п+1) раз диференційовної в околі точки t0, має місце рівність:
,
де 0<<1.
Запишемо дещо по-іншому цю формулу. Нехай t-t0=t, тоді:
F(t)-F(t0)=F(t0)
(4.1)
Дивлячись на цей вигляд формули Тейлора, неважко догадатись, що її можна перенести і на функції багатьох змінних.
Теорема 4.1(Формула Тейлора для функції багатьох змінних)
Нехай функція U=F(x1;x2;…;xk) (n+1) раз диференційовна в деякому околі точки М0(х1(0),....,хк(0)), тоді справедлива рівність:
, (4.1)
де і точкаN(х1,...,хк) належить заданому околу. В диференціалах, які стоять справа, dxi=xi=xi-xi(0), останній доданок цієї формули, називається залишковим членом формули Тейлора у формі Лагранжа.
Доведення. Для простоти викладу доведемо цю формулу для функції двох змінних.
Нехай функція U=F(x1;x2), яка (п+1) разів диференційовна в околі точки М0(х1(0);x2(0)).
Візьмемо точку М1(х1(0)+х1;x2(0)+x2). Проведемо через точки М0 і М1 пряму, рівняння якої буде: ;
Звідки ; .
При цьому, якщо t0;1, то М(х1;x2) пробіжить відрізок М0М1.
Розглядатимемо функцію U=F(x1;x2) лише в точках відрізка М0М1. На цьому відрізку ця функція є функцією однієї змінної t: U=F(x1(0)+tx1;x2(0)+tx2)=f(t). З того, що х1, і х2 є лінійними функціями від t і задана функція (п+1) разів диференційовна в околі точки М0 слідує, що ця складна функція по t є (п+1) раз диференційовною в околі точки t0=0. Тоді з формули (4.1), одержуємо:
(4.2).
Замітимо, що в нашому випадку
f(0)=F(x1(0)+x1;x2(0)+x2)-F(x1(0);x2(0))=f(1)-f(0)=
Оскільки, як ми встановили вище, диференціали вищих порядків мають властивість інваріантності форми, якщо змінні лінійно залежать від інших аргументів, (від t), то всі інші доданки формули (4.2) матимуть вигляд ; k=1,2,…n
, де NМ0;M1. Врахувавши це все, і, підставивши у формулу (4.2), ми одержимо формулу Тейлора, де в точці N, буде деяка точка на М0;М1. Теорему доведено.
Дана формула Тейлора дозволить нам в наступних параграфах вирішувати проблеми екстремумів функцій багатьох змінних.