- •Частина II Диференціальне числення функцій багатьох змінних Розділ 1. Поняття дійсної функції багатьох змінних
- •Розділ 2. Диференційовність функцій багатьох змінних § 1. Поняття диференційовної функції. Часткові похідні. Необхідні умови диференційовності
- •§ 2. Достатні умови диференційовності функції багатьох змінних
- •§ 3. Диференційовність складної функції.
- •§ 4. Інваріантність форми диференціала функції багатьох змінних.
- •§ 5. Похідна за напрямком. Градієнт.
- •Розділ 3. Частинні похідні і диференціали вищих порядків § 1. Частинні похідні вищих порядків
- •§ 2. Достатні умови незалежності змішаних частинних похідних від порядку диференціювання.
- •§ 3. Диференціали вищих порядків
- •§ 4. Формула Тейлора для функцій багатьох змінних
- •Розділ 4. Неявні функції § 1. Існування неявної функції однієї змінної
- •§ 2. Існування неявної функції багатьох змінних
- •§ 3. Існування неявної функції, яка задається системою рівнянь
- •Розділ 5. Екстремуми функцій § 1. Поняття екстремума функцій багатьох змінних
- •§ 2. Деякі відомості з теорії квадратичних форм
- •§ 3. Достатні умови існування екстремуму
- •§ 4. Умовний екстремум
- •Частина III. Розробка електронного посібника “Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функцій багатьох змінних”
- •Програмне середовище підручника
- •Як працювати з підручником?
Розділ 2. Диференційовність функцій багатьох змінних § 1. Поняття диференційовної функції. Часткові похідні. Необхідні умови диференційовності
Очевидно є проблема перенесення означення похідної функції однієї змінної на похідну функції багатьох змінних. І ця проблема полягає в тому, що кожна із змінних має свій приріст.
В зв’язку з цим, перенести означення похідної можна, якщо приріст надавати не всім змінним, а тільки одній із них. В результаті ми одержимо аналог похідної, який будемо називати частковою похідною від функції багатьох змінних, як було в одномірному аналізі.
Означення 1.1. Величину , називаютьчастковим приростом функціі по змінній хі, де хі0, в точці х(0).
Означення 1.2. Якщо існує границя , то її називають частинною похідною функції U(x) в точці х(0) і позначають: , або .
Означення 1.3. Функція U=f(x), називається диференційовною в точці х(0), якщо повний приріст цієї функції в цій точці можна зобразити у вигдяді , (1.1),
де Аі – незалежні від величини, і є функціями від , які прямують до нуля, коли.
Означення 1.4. Якщо функція диференційовна в точці х0, то вираз називається диференціалом функції в даній точці і позначається ,
.
Як ми бачимо, диференціал це є лінійна відносно частина приросту функції. З рівності (1.1) слідує, що якщо функція диференційовна в точці , то вона неперервна в цій точці.
Теорема 1.1. Якщо функція диференційовна в точці, то існують усі часткові похідні в цій точці.
Якщо рівність (1.1) справедлива для будь-якого приросту х(0), то вона справедлива, коли , а решта. Тоді , поділимо обидві частини на. Після переходу до границі, одержимо: .
Обернене твердження взагалі невірне.
Розглянемо функцію
В точці (0;0) існують часткові похідні.
;
.
Але дана функція не є неперервною в точці (0;0), тому вона не може бути і диференційовною в цій точці.
Таким чином цей приклад показує:
1)Із існування всіх часткових похідних в точці, не випливає диференційовність цієї функції в цій точці.
2)Не обов’язково розривна функція не повинна мати часткових похідних.
Зауважимо, що в означенні диференційовної функції на накладається умова: .
З теореми 1.1. бачимо, що якщо функція диференційовна в точці х0, то її приріст можемо записати у вигляді
, де і – нескінченно малі функції від .
Якщо – незалежні змінні, то їх прирости називаються диференціалами, тобто: .
Таким чином диференціал функції можна записати у вигляді .
Як ми знаємо, між диференційовністю функції однієї змінної в якійсь точці х0 і наявністю дотичної до графіка функції в точці (х0, f(x0)), є зв’язок. Перенести його на функцію будь-якої кількості змінних (3) – не можливо, бо графік такої функції буде розміщуватись в просторі розмірності >3. Та все ж таки для функції z=f(x;y) таку проблему можна ставити, бо її графіком буде деяка поверхня в просторі R3, для якої ми можемо ввести поняття дотичної площини, а отже, можливо, і зможемо зв’язати проблему існування дотичної площини з умовою диференційовності функції.
Означення 2.4. Площина Р, називається дотичною до деякої поверхні G в деякій точці М0(у0; x0; z0) цієї поверхні, якщо:
1) М0Р;
2) кут між цією площиною і січною М0М, де М – будь-яка точка поверхні G, прямує до нуля, якщо точка М прямує до співпадання з точкою М0.
Нехай функція z=f(x; y) диференційовна в точці А(х0; y0), тоді приріст функції можна записати у вигляді, , коли 0, де .
Розглянемо площину: і покажемо, що вона є дотичною до поверхні в точці (х0; y0; z0), де z0=f(x0; y0). Для того, щоб довести, що ця площина буде дотичною до нашої поверхні в точці (х0; y0; z0) потрібно показати:
1) що вона проходить через точку (х0; y0; z0), а це очевидно, бо координати цієї точки наше рівняння задовільняють;
2) що кут між нормаллю цієї площини і січною прямуватиме до 90, коли точка М прямує до точки М0, рухаючись по цій поверхні.
Нехай –- вектор нормалі до площини в точці М0. Розглянемо вектор , де М(х; y; z) – довільна точка на поверхні.
Врахувавши, що , одержимо:
, коли ,
це рівнозначне тому, що коли ММ0 по поверхні, то кут між і прямує до 90, а це означає, що кут між площиною і січною прямує до нуля.
Отже площина є дотичною до функції в точці М0(х0; y0; z0).