- •Частина II Диференціальне числення функцій багатьох змінних Розділ 1. Поняття дійсної функції багатьох змінних
- •Розділ 2. Диференційовність функцій багатьох змінних § 1. Поняття диференційовної функції. Часткові похідні. Необхідні умови диференційовності
- •§ 2. Достатні умови диференційовності функції багатьох змінних
- •§ 3. Диференційовність складної функції.
- •§ 4. Інваріантність форми диференціала функції багатьох змінних.
- •§ 5. Похідна за напрямком. Градієнт.
- •Розділ 3. Частинні похідні і диференціали вищих порядків § 1. Частинні похідні вищих порядків
- •§ 2. Достатні умови незалежності змішаних частинних похідних від порядку диференціювання.
- •§ 3. Диференціали вищих порядків
- •§ 4. Формула Тейлора для функцій багатьох змінних
- •Розділ 4. Неявні функції § 1. Існування неявної функції однієї змінної
- •§ 2. Існування неявної функції багатьох змінних
- •§ 3. Існування неявної функції, яка задається системою рівнянь
- •Розділ 5. Екстремуми функцій § 1. Поняття екстремума функцій багатьох змінних
- •§ 2. Деякі відомості з теорії квадратичних форм
- •§ 3. Достатні умови існування екстремуму
- •§ 4. Умовний екстремум
- •Частина III. Розробка електронного посібника “Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функцій багатьох змінних”
- •Програмне середовище підручника
- •Як працювати з підручником?
§ 4. Інваріантність форми диференціала функції багатьох змінних.
Нехай функціяU=f(x1,…,xn) диференційовна в точціВ, а функціїх1=1(t1,…,tk) ,…,xn=n(t1,…, tk), як вимагалось в теоремі 3.2 – диференційовні в точці А, при чому координати точки В зв’язані з координатами точки А, як і вимагалось в цій теоремі. Тоді, як ми довели, U(t1…,tk) диференційовна в точці А. А оскільки ti – незалежні аргументи, то існує диференціал нашої функції дорівнює:
Так, як при кожномуі, то dU можна переписати у вигляті:
,
а останній вираз не відрізняється від dU, коли х1,...,хn – незалежні змінні.
Отже ми довели: форма диференціала функції багатьох змінних не залежить від того, чи її аргументи – незалежні змінні, чи функції якихось інших знінних. Ця властивість називається інваріантністю форми диференціала.
§ 5. Похідна за напрямком. Градієнт.
Нехай маємо напрямок в точці М0(х0, у0, z0)R3, заданий одиничним вектором , який утворює, з додатніми напрямками осейОХ, ОУ, ОZ, кути, що відповідно дорівнюють , , . Через точку М0 проведемо пряму, яка проходить вздовж вектора . За додатній напрямок візьмемо напрям вектора. На цій прямій виберемо точкуМ, відмінну від М0.
Означення 5.1. Орієнтовною довжиною відрізка М0М з початком в точці М0 і кінцем в точці М, називається число, яке дорівнює довжині цього відрізка, коли напрям вектора співпадає з напрямом, або число, яке дорівнює довжині цього відрізка взятій із знаком мінус, коли напрямки векторіві– протилежні.
Нехай функція U=f(x, y, z) – визначена в деякому околі точки М0(х0,у0,z0), точка М, відмінна від М0, яка лежить на вище згаданій прямій і належить даному околу.
Означення 5.2. Якщо існує границя , то її називаютьпохідною функції f(x,y,z) в точці М0 за напрямком вектора і позначають: ,.
Таким чином ,,є похідними за напрямками, які визначаються відповідно додатніми напрямками осейОХ, ОУ, ОZ.
Теорема 5.1. Якщо функція f(x,y,z) диференційовна в точці М0(x0,y0,z0), то в цій точці вона має похідну за будь-яким напрямком і при цьому виконується рівність:
. (5.1)
Доведення. Нахай маємо точку М0 і через неї проведена пряма, яка проходить через вектор . На прямій взято точку,. Так, як функція диференційовна в точціМ0, то
,
де 1, 2, 3 прямують до нуля, коли х0, у0, z0. Оскільки х=М0Мcos, у=М0Мcos, z=М0Мcos, то
. (5.2).
Оскільки, якщо ММ0, то х, у, z,0, а значить і 1, 2, 3 прямують до нуля. Таким чином права частина рівності (5.2) ( а отже і ліва), має границю, коли ММ0, що дорівнює
.
Це означає, що похідна за напрямком існує і виконується рівність (5.1).
Теорему доведено.
Нехай функція U=f(x,y,z) диференційовна в точці М0(х0,у0,z0). Тоді за теоремою 5.1, в цій точці існує похідна функції за будь-яким напрямком. Часто виникає питання: за яким напрямком ця похідна буде найбільша?
Розглянемо два вектори: одиничний вектор , який визначає напрямок, і, який називається градієнтом функціїf(x,y,z) в точці М0(x0,y0,z0), тут – орти. Скалярний добуток (,gradf(x0,y0,z0)) цих векторів, дорівнює:
.
Порівнявши з формулою (5.1) ми бачимо
(5.3).
З іншого боку
(5.4),
де – кут між цими векторами. Так, як , то з формул (5.3), (5.4), одержимо:
(5.5).
Права частина (а значить і ліва), якщо f(x0,y0,z0)0, набуває найбільшого значення при =0. Таким чином, якщо ,,одночасно не дорівнюють нулю, то найбільшого значення похідна за напрямком набуває в напрямі градієнта даної функції. Похідна в цьому напрямі дорівнює:
.
Врахувавши, що дорівнює швидкості зміни функції в напрямі, який визначається вектором, то можна сказати, що якщо градієнт функції в точціМ0 не дорівнює нулю, то він напрямлений в бік найбільшого зростання функції.