- •Міністерство освіти і науки україни
- •Розділ і електронні підручники як засіб підтримки учбового процесу
- •Розділ іі технологія створення електронного підручника
- •1. Інструментальне забезпечення. Редактор FrontPage
- •1.1 Вставка тексту
- •1.2 Використання спеціальної вставки
- •1.3 Виділення тексту
- •1.4 Копіювання
- •1.5 Видалення тексту
- •1.6 Розриви тексту
- •1.7 Шаблони
- •1.8 Шаблони сайтів
- •1.9 Шаблони сторінок
- •1.10 Створення фреймів
- •1.11 Шрифти
- •1.12 Символи
- •1.13 Форматування абзаців
- •1.14 Списки
- •1.15 Створення гіперпосилань
- •1.16 Графічні формати
- •1.17 Збереження зображень
- •1.18 Колекція ілюстрацій
- •2 Характеристика та етапи створення електронного підручника
- •Розділ ііі ряди Числові ряди.
- •1.2 Знакододатні ряди. Умови збіжності таких рядів.
- •1.3 Абсолютно та умовно збіжні ряди
- •1.4 Ознаки збіжності знакозмінних рядів.
- •1.5 Множення рядів
- •Функціональні послідовності та ряди
- •2.1 Збіжність, рівномірна збіжність функціональних рядів і послідовностей
- •2.2 Властивості рівномірно збіжних послідовностей і рядів
- •Степеневі ряди
- •3.1 Область збіжності степеневого ряду. Властивості сум степеневих рядів
- •3.2 Розклад функції у степеневий ряд. Біноміальний ряд
- •Висновок
- •Список використаної літератури
3.2 Розклад функції у степеневий ряд. Біноміальний ряд
Для функції , яка задана в деякому околі точки, і хоча бразів диференційована в самій точці, важливим є наступний многочлен:
,
який називається многочленом Тейлора функції по степенях. Якщо, то її многочлен Тейлорабуде співпадати з самою функцією, а.
Якщо ж функція не є многочленом певного степеня, то вона не зобов’язана співпадати зі своїм многочленом Тейлора у всіх точках деякого околу точки. Тоді представляє інтерес поведінка такої величини:, яку називатимемо залишковим членом. Цю рівність перепишемо ще так, її називатимемо формулою Тейлора, а другий доданок – залишковим членом. Щоб довідатись дещо більше про величину, нам потрібне буде наступне твердження, у якому позначимо черезвідрізок з кінцямита, а через–інтервал з цими ж кінцями.
Теорема. (Тейлор). Нехай функція на– неперервна разом зі своїми першимипохідними, а наіснуєпохідна. Якщо– довільна, неперервна нафункція, яка в кожній точці інтервалумає відмінну від нуля похідну, то існує:
(1)
▲
Введемо в розгляд функцію ,очевидно, що– диференційовна наі неперервна на. Знайдемодля. Функціїіназадовольняють усім умовам теореми Коші, тому існує:
(2)
Оскільки ,,. Підставивши одержані результати у формулу (2) одержуємо рівність (1).
▼
У формулі (1) функція – довільна, а це означає, що беручи в якостірізні функції, ми одержуватимемо різні форми залишкового члена формули Тейлора. Покладемо спочатку,, то.,,
. (3)
(3) – це залишковий член у формулі Тейлора записаний у формі Коші. Тепер нехай ,,.,,
(4)
(4) – це залишковий член у формулі Тейлора записаний у формі Лагранжа.
Якщо функція безліч разів диференційована в точці, то для неї, формально, можна написати наступний ряд
(5)
(5) ми будемо називати рядом Тейлора функції по степенях. Виявляється, що якщобезліч разів диференційована в точці, то цього замало, щоб її значення співпадали з сумою її ряду Тейлора, хоча б в якомусь околі цієї точки.
В зв’язку з цим справедливе наступне твердження.
Теорема. (Критерій розкладу функції у степеневий ряд). Для того, щоб функцію на деякому інтерваліможна було розкласти у степеневий ряд, необхідно і достатньо, щоб:
на інтервалі функціябула безліч разів диференційованою,
залишковий член формули Тейлора в якісь із форм прямував до нуля при , для.
▲
Необхідність. Якщо є сумою деякого степеневого ряду, то цей ряд буде її рядом Тейлора і, з відомої теореми випливає, що вона безліч разів диференційована. Щодо прямування до нуля величини, то це буде вірно, тому що.
Достатність. З умови 1) маємо, що для функції можна написати її ряд Тейлора, а з 2) – залишок цього ряду, тобто, різниця міжпрямує до нуля, отже ряд збігається до.
▼
Після цього критерію виникає питання єдиності розкладу функції у степеневий ряд по степенях . Із теореми про можливість почленного диференціювання степеневого ряду, у якій було встановлено, що коефіцієнти ряду виражаються через суму цього ряду однозначно, то справедливе наступне твердження.
Якщо функція в деякому околі точкирозкладається у степеневий ряд по степенях, то цей розклад є єдиний і цей степеневий ряд є рядом Тейлора.
Ряд Тейлора, у якому , тобто ряд видуназивається рядом Маклорена для функції.
Найближчою нашою метою є одержання розкладів основних елементарних функцій у степеневі ряди, але спочатку доведемо наступний факт.
Теорема. (Друга теорема Абеля). Нехай ряд є збіжним до числа. Якщостепеневий ряд з інтервалом збіжності, то існує. Інакше кажучи, якщо рядз одиничним радіусом збіжності збіжний у точці, то сума, цього ряду, є функцією неперервною у точцізліва.
▲
Позначимо через ,. Тоді, оскільки існує
(1)
то є обмеженою послідовністю.
Розглянемо .
З даної тотожності, враховуючи що і обмеженість, переходом до границі поодержуємо:. З рівності (1), за означенням границі, маємо що,:
. (2)
Розглянемо модуль .
Позначимо через, коли, то. Згідно означення границі випливає, щовиконується нерівність. Отже, і.
▼
Зауважимо, що у цій теоремі необов’язково щоб радіус збіжності дорівнював одиниці. Він може бути будь-яким скінченим додатнім числом. Необов’язково і також, щоб ряд був розміщеним по степенях , він може бути і по степенях.
А тепер займемося розкладом функцій в ряд Маклорена.
Нехай маємо функцію . Знаходимо,, … Отже,,, …,, … Тому ряд Маклорена длямає вигляд
Знайдемо залишковий член функції у формі Лагранжа:,. Візьмемоі розглянемо відрізок, дослідимо поведінкуна цьому відрізку.,. Але права частина останньої нерівності прямує до нуля. Отже, залишковий член функціїу формі Лагранжа прямує до нуля на будь-якому відрізкуі тому справедлива длярівність
, (1)
яка і є розкладом функції в ряд по степенях.
Аналогічно ми одержуємо і такий розклад для:
(2)
Продиференціювавши ряд (2) ми отримаємо для:
(3)
Далі, скористаємося наступними рівностями,
, (4)
, (4’)
(справа в них стоять геометричні прогресії знаменники яких за модулем менші 1). Проінтегрувавши ряд (4’) по відрізку з кінцями , деодержимо,
,
(5)
Якщо в праву частину рівності (5), яка справедлива, поки що на , замістьпоставити, то отримаємо ряд, який є збіжним. Тому за другою теоремою Абеля справедлива рівність, де– сума ряду (5) на множині, і. Звідси маємо, що,але жпритеж дорівнює, отже рівність (5) насправді справедлива на множині. Поставимо у рівність (5) замість,. Отримаємо:
,(6)
Візьмемо , для нього будуть справедливі рівності (5) і (6). Віднявши від (5) (6) матимемо:
(7)
Формула (7) цікава тим, що з її допомогою можемо наближено обчислювати значення логарифма для чисел, яке не можна обчислити за допомогою формул (5) або (6).
Розкладемо в ряд Маклорена функцію ,
;
;
;
………………………………………;
;
……………………………………………….. .
;
;
;
…………………………;
;
…………………………………. .
;
;
;
…………………….;
;
………………………………. .
Отже, для функції матимемо такий ряд Маклорена,
.
З’ясуємо яким має бути , щоб в останньому співвідношенні можна було поставити знак рівності. Для того щоб це з’ясувати, знайдемо залишковий член цієї функції у формі Коші,
(8)
де – деяке число залежне віді від,. Оцінимо модулі двох останніх множників правої частини рівності (8) на інтервалі. Будемо мати
, (9)
, (10)
де не залежить віді від. Ми одержали, що. З рівності (8) і оцінок (9) і (10) маємо для:
(11)
Утворивши з правої частини нерівності (11) ряд, і дослідивши його на збіжність за ознакою Даламбера, ми одержимо, що відповідна границя дорівнює , а оскільки, тоі ряд збігається для. Тому загальний член цього ряду (тобто права частина нерівності (11)) прямує до нуля. Отже, як випливає з (11)приі, згідно критерію для,справедлива рівність:
(12)
З’ясуємо чи не можна до рівності (12) при приєднати точки,?
Розглянемо
. (13)
Дослідимо на збіжність ряд
. (14)
За ознакою Раабе матимемо , а це означає, що ряд (14) є збіжним. Звідси і з (13), за ознакою Вейерштрасса отримаємо, що ряд (12) прирівномірно збіжний надо деякої функції, яка неперервна на відрізку. Але жпритеж неперервна на, оскільки на, справедлива рівність, то насправді,. Отже, ми встановили, що:
, .