- •2. Основна теорема теорії мн-нів.
- •3. Критерій розв’язуваності конгруенцій з одним невідомим першого степеня.
- •4. Основна теорема арифметики.
- •5. Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників
- •6.Розв’язування с-ми лінійних рівнянь (слр) матричним способом. Формули Крамера.
- •7. Властивості множення матриць.
- •8. Критерій визначеності с-ми лінійних рівнянь (слр)
- •9. Критерій сумісності с-ми лінійних рівнянь .
- •1 0. Власт. Лз та лнз систем векторів.
- •11. Означення та вл-сті паралельних і розбіжних прямих на площині Лобачевського.
- •Дедекіндів переріз відрізка np
- •13. Аксіома Лобачевского. Основні факти геометрії.
- •14 Довжина дуги лінії на поверхні. Перша квадратична форма.
- •15. Дотична пряма і нормальна площина до гладкої просторової лінії. Виведення рівнянь.
- •16. Принцип двоїстості на проективній площині і в просторі. Теорема Дезарга.
- •1. Дано:
- •2. Дано:
- •17 Рухи. Властивості рухів. Класифікація рухів. Рухи
- •18.Рівняння площини і прямої в просторі.
- •1.Канонічне рівняння прямої.,
- •4. Параметричне р-ня прямої.
- •19.Змішаний добуток 3-х векторів. Геометр. Зміст змішаного добутку.
- •20.Векторний добуток 2-х векторів. Геометр. Зміст векторного добутку.
- •22. Похідна ф-ції комплексної змінної. Критерій існування. Умови Коші-Рімана.
- •23. Визначений інтеграл із змінною верхньою межею. Існування первісної неперервної ф-ції. Теорема Ньютона-Лейбніца.
- •24.Основні теореми диференціального числення (Ферма, Лагранжа, Коші, Роля)
- •26. Показникова і тригонометричні ф-ції в комплексній області.
- •27.Неперервні ф-ції та її властивості (теореми Больцано-Веєштраса I-II).
- •28. Означення границі ф-ції за Гейне і Коші.
- •30. Теорема Больцано – Вейєрштрасса (про підпослдовність).
1.Теорема про єдиність та можливість представлення правильного дробу у вигляді суми елементарних.
Озн. Рац. дріб наз. правильним, коли степінь чисельника менший за степінь знам.
Т. " правильинй дріб можна представити у вигляді суми елементарних дробів.
Д ов. т-му спочатку для вип. правильного дробу: , де g(x) i h(x ) – взаємно прості deg f< deg (gh)
О-ки мн-ни g(x) i h(x ) взаємно прості, то $ мн-ни і : g(x) + h(x) = 1. Домножимо на f(x):
g(x)(f(x) )+h(x)(f(x) )=f(x) (3) , поділимо f(x) на h(x): hs+u=f
Тоді (3) можна записати: gu+hv=f (4), де deg u < deg h
v(x) – мн-член , який легко знайти, але в явному вигл. він нас не цікавить
deg(gu) < deg(gh), deg(f) < deg(gh)
Отже, deg (hv)<deg (gh), deg (v)<deg (gh), deg (v)<deg g, тобто цей правильний дріб ,
де g i h взаємнопрості.
Якщо мн-н g(x) розкладається на взаємонпрості множники , то міркуючи аналогічно можна відпов. дріб розкласти на суму правильних дробів в знамен. кожного з яких стоїть степінь деякого незвідного мн-на поля Р, який буде взаємнопростий із знамениками інш. дробів.
Розгл. . М-н g(x)=(p1(x))k1(p2(x))k2…(ps(x))ks,
pi –незвідні в полі Р мн-ни, вони попарно прості.
Отже, дріб можна представити у вигляді:
, де .
Беремо з таких доданків : <deg (pk) , буде:
=(p(x))k-1s1(x)+ , deg < deg (p)k-1
=(p(x))k-2s2(x)+
………………………….. (5)
=(p(x))2sk-2(x)+
=(p(x))sk-1(x)+
З 1–го р–ня (5) маємо: deg <deg (p)k deg <deg (p)k-1
Отже, deg s1<deg (p)
Міркуючи аналогічно отримаємо, що deg si < deg p, i=2…k-1
Звідси: deg <deg p.
Врахувавши (5) отрим.:
Отже, дріб представлений у вигл. суми елементарних дробів.
Т. " правильний дріб можна єдиним чином представити у вигляді суми елементарних дробів.
Дов. Прип., що деякий правильний дріб по крайній мірі двома способами представляється у вигляді суми елем. дробів. Віднявши від 1-го представлення 2-е і звівши подібні доданки отримаємо алгебраїчну суму елем. дробів, яка 0.
Прип., що знаменники цих дробів є степенями незвідних в полі Р мн-нів р1(х), р2(х), ...., рl(х).
Нехай найбільший із степенів мн-на рі(х), з яким він входить в цю суму буде кі , і= 1…l.
Домножимо обидві чатини останньої рівності на вираз , , ...., (6)
Прип. елем. дріб знаменником якого є має вигляд: (7), де степінь строго менший степеня р1, тобто, якщо ми обидві частини нашої р-ті домножимо на (6), то в 1-ій частині стоятиме 0 , а в другій стоятиме сума мн-нів і дробу
, який отримається із (7). Але всі рі попарно взаємнопрості, отже, р1(х) з ніяким із мн-нів чисельника скоротитися не може, тобто, отримаємо, що рац. дріб = сумі мн-нів. Такого бути не може!
2. Основна теорема теорії мн-нів.
Т. 1. " мн-н (deg(f) 1) з R коефіцієнтами має хоча б 1 комплексний корінь.
Викор. цю т. доведемо осн. т. теорії мн-нів.
Т. (основна теорема теорії мн-нів)
" мн-н з коеф. def ≥1 має хоча б 1 корінь.
Дов. Нех. – мн-н з коеф., розгл. Мн-н – коеф. якого спряжені до коеф. f(z) спряжене до і розгл. добуток: , де , k=0…n
Розгл. .
Отже, мн-н буде мн-ном з R коеф. За т.1 $ хоча б 1 корінь мн-на то звідси Þ, що , або тобто розгл. число спряжене до лівої частини:
Отже, якщо α не є коренем f(z), то є коренем цього мн-на.
З даної т. $ ряд наслідків.
Н. 1: " мн-н з коеф. степеня >1 є звідним в полі чисел.
Н. 2: " мн-н однозначно, з точністю до порядку слідування множників можна представити у вигляді:
.
З н.1 Þ: Мн-н з коеф. є незвідним в полі чисел , коли його степінь буде = 1.
З н. 2 Þ: к-сть коренів мн-на з коеф., з врахуванням їх кратності, = степеню мн-на, тобто поле чисел є алгебраїчно замкнутим.
Н.3: " мн-н f(x), з R коеф., степеня >2 є звідним у полі R.
3. Критерій розв’язуваності конгруенцій з одним невідомим першого степеня.
Заг. вигляд конгруенції 1-го степеня з одним невідомим: . Дослідимо всі можливі випадки розв’язування лінійних конгруенцій.
І. Розгл. спочатку найбільш важливий випадок, коли а і т взаємнопрості, тобто (a,m)=1.
Якщо в підставити замість х всі лишки з повної с-ми, то за 1-ою т. про лишки лінійної форми, ах також перебігає всі значення з повної с-ми лишків, тому для одного і тільки одного значення х1 число ах1 потрапляє в той клас, до якого належить b , для нього отримаємо .
Отже у випадку (а,m)=1 лінійна конгруенція має лише один розв’язок: або x=x1 + mt, .
Пр-д. .
Підставляючи лишки повної с-ми за модулем 8: ; знаходимо .
І І. Розгл. випадок, коли (a ,m)=d, d >1 і
В цьому випадку лінійна конгруенція розв’язку мати не може, оск. це суперечить тій вл-сті конгруенцій (частини конгруенції мають з модулем один і той самий НСД).
Дов.
,
Отже, – суперечність.
П-д. 6х ≡ 7 (mod 15)
(6, 15) = 3, але
Отже, конгруенція розв’язку немає.
I I I. Розгл. останній випадок, коли (а, m) = d, d > 1 і .
Тоді а = а1d, b = b1d , m = m1d.
За відомою вл-стю конгруенцій обидві частини конгруенції і модуль можна поділити на d, після чого отримуємо
а1х b1 (mod m1), (а1 ,т1)=1, що Û випадку І.
Отримана конгруенція має розв’язок .
Щоб знайти класи розв’язків за модулем т відзначимо, що всі лишки …, x1 –m1 , x1 ,x1 +m1 ,…, x1 +(d-1)m1 , x1 +dm1 ,… (*)
конгруентні з x1 за модулем m1 , належать за модулем m=m1d різним класам, представниками яких є лишки:
. (**)
(
, k-r = cd , k=cd+r , )
Дійсно, різниця двох " таких чисел не ділиться на m, отже вони належать різним класам лишків за модулем m. Крім того для кожного лишку з ряду (*) завжди знайдеться число з (**) таке, що їх різниця буде кратна m , отже такі числа належать одному класу лишків за модулем m. Тому в цьому випадку конгруенція буде мати d розв’язків: . П-д
Ділимо на НСД(15, 35, 55) =5, отримуємо
Методом підбору знаходимо: .
Тоді для даної конгруенції маємо п’ять розв’язків: .
Критерій розв’язку лінійної конгруенції :
І. якщо (a ,m)=1, то $! розв’язок;
І І. (a ,m)= d , d>1 і – розв’язку немає;
І І І. (a ,m)= d , d>1 і – $ d розв’язків.