1.5 Множення рядів

Вище ми згадували про додавання та множення на константу рядів, а як же перемножити між собою два ряди? Чи завжди добуток двох збіжних рядів буде збіжним рядом? В цьому розділі ми дамо відповіді на ці запитання.

Розглянемо поняття добутку двох рядів за Коші.

Означення (Коші). Під добутком рядів

, (1)

(2)

за Коші, розуміють такий ряд

, де .(3)

Виявляється, що якщо ряди (1) і (2) – збіжні, то цього мало для збіжності ряду (3) (добутку їх за Коші).

Приклад. Нехай ми маємо два ряди і, утворимо добуток цих рядів

Взявшипо модулю ми побачимо, що кожен доданок в дужках більший або рівний за, то врахувавши, що кількість доданків, матимемо, щоі не прямує до нуля, а отже, ряд – розбіжний. Таким чином, ми встановили, що добуток двох збіжних рядів не зобов’язаний бути збіжним рядом.

Зауважимо, що обидва співмножники є умовно збіжними рядами. Можливо, негативний результат одержався саме з цієї причини? Відповідь на цю проблему дає наступне твердження.

Теорема. (Мертенс). Нехай ряд (1) абсолютно збіжний, а ряд (2) – збіжний. Тоді ряд (3) – збіжний до числа , деі – суми рядів відповідно (1) і (2).

▲

Нехай ,,– часткові суми відповідно рядів (1), (2), (3). Розглянемо

(4)

Оскільки ряд (2) – збіжний до суми , то, а отже,, депри. Звідси і з (4) маємо, що. Для доведення цієї теореми достатньо показати, що

. (5)

З абсолютної збіжності ряду (1) маємо, що

, (6)

де – це число, що визначається з того, що нескінченно мала послідовність. – обмежена, і

. (7)

Оцінимо тепер ,

. Із збіжності ряду , випливає, що його сума дорівнює деякому числу, тоді

, .(8)

Оскільки , то для вказаного в (6)знайдеться

. (9)

Повертаючись до оцінки візьмемо, тоді на основі (9) та (8) матимемо, що, а це і означає, що ряд (3) – збіжний.

▼

Зауважимо, що в теремі Мертенса умова абсолютної збіжності одного з рядів не може бути знятою.

Функціональні послідовності та ряди

2.1 Збіжність, рівномірна збіжність функціональних рядів і послідовностей

Послідовність членами якої є функції, кожна з яких визначена на множині, називається функціональною послідовністю визначеною на.Аналогічно,, дефункції, кожна з яких визначена на, називається функціональним рядом визначеним на. Як і для числових рядів і послідовностей, так і для функціональних, між ними існує зв'язок, який дозволяє отримані результати для одного з об’єктів перекидати на інший.

Візьмемо точку з множини. Підставимо цю точкув ряд, одержимо числовий ряд, який може бути або збіжним, або розбіжним. Якщо цей числовий ряд буде збіжним, то точкуназивають точкою збіжності цього ряду. Множина всіх таких точок множининазивається областю збіжності функціонального ряду. Якщо її позначимо через, то зрозуміло, що. Сумою функціонального ряду на області збіжностібуде деяка функціязадана на цій множині. Очевидно, що область збіжності функціонального ряду можна шукати використовуючи ознаки збіжності числових рядів.

Приклад. Розглянемо послідовність , деназадається так,

Зрозуміло, що послідовність збіжна придо функції

Цей приклад показує, що границя послідовності неперервних функцій не зобов’язана бути неперервною функцією. Далі ми ще повернемось до цієї проблеми, але спершу напишемо, що означає, що :

(1)

Умова (1) виражає собою, так звану, поточкову збіжність послідовності на множині .

Оскільки поточкова збіжність приводить до не зовсім бажаних результатів (границя послідовності неперервних функцій не зобов’язана бути неперервною функцією), то спробуємо дещо підсилити означення збіжності (1).В поточковій збіжності номер залежить і від, і від вибору точкиз множини. Спробуємо одержати таку збіжність, щобзалежало лише віді підходило одразу до всіхз( тобто, щоб воно відне залежало). Це вже буде не поточкова збіжність. Її ми назвемо рівномірною збіжністю на множині.

Дамо тепер точне означення цьому поняттю.

Означення. Послідовність називається рівномірно збіжною на множинідо функції, якщо

. (2)

Зрозуміло, що означення рівномірної збіжності легко переноситься і на ряди.

Означення. Ряд називається рівномірно збіжним на множинідо функції, якщо рівномірно збіжною нає послідовність його часткових сум, або що те саме,

. (3)

Зрозуміло, що із рівномірної збіжності на множині, випливає поточкова збіжність, а навпаки? Наступна теорема в якісь мірі відповідає на питання , що дає рівномірна збіжність послідовності.

Теорема1. Нехай – послідовність функцій, неперервних в точці, яка рівномірно збіжна до функціїв деякому- та околі точки. Тоді– неперервна в цій точці.

▲

З умови теореми випливає, що

. (4)

Розглянемо різницю поки що для , (далі– якесь натуральне число більше за)

(5)

Оскільки функція – неперервна в точці, то для вказаного вище. Взявши в (5), матимемо, що, а це і означає, щонеперервна в точці.

▼

Очевидно, з цієї теореми, в якості простого наслідку випливає наступна

Теорема2. Якщо послідовність – рівномірно збіжна дона відрізкуі– неперервні нафункції, тотеж неперервна на цьому відрізку.

Цими теоремами ми не лише показали важливість рівномірної збіжності, а і з врахуванням приведеного вище прикладу встановили, що із поточкової збіжності, рівномірна збіжність не випливає. Тобто поняття цих двох збіжностей не є еквівалентними (друге є більш „жорстким”).

Теорема3. (Критерій Коші рівномірної збіжності послідовності). Для того щоб послідовність рівномірно збігалася на множині, необхідно і достатньо, щоб

. (6)

▲

Необхідність. Доведення необхідності в цьому випадку аналогічне до доведення необхідності в критерії Коші для числових послідовностей.

Достатність. Нехай

. (7)

Підставимо в (7) замість будь-яку фіксовану точку з множини. Ми отримаємо числову послідовність, яка за (7) на основі критерію Коші для числової послідовності є збіжною. Отже, ми одержали, що послідовністьзбіжна надо деякої функції. Доведемо, що ця збіжність – рівномірна. Для цього звернемося до останньої нерівності з (7). Перейшовши в ній до границі, коли, і врахувавши, що, ми отримаємо, що послідовністьзбігається рівномірно на множині.

▼

Теорема4. Для того, щоб ряд був рівномірно збіжним на множині , необхідно і достатньо, щоб.

Хоча теореми 3 і 4 – це критерії рівномірної збіжності, проте, на практиці застосовувати їх важко. Тому є потреба одержати більш конструктивні, хоча б достатні умови рівномірної збіжності. Виявляється, що для послідовностей часто ефективним є наступний критерій.

Теорема5. (Критерій рівномірної збіжності послідовності). Для того, щоб послідовність рівномірно збігалась дона множині, необхідно і достатньо, щоб, де.

▲

Необхідність. Нехай рівномірно збігається до. Тоді,

. Звідси випливає, що . А це і означає, що.

Доведення достатності є очевидним.

▼

Для рядів корисною є наступна

Теорема6. (Ознака Вейерштрасса). Нехай – деякий ряд і– збіжний знакододатній ряд. Якщо дляі для всіхсправедлива нерівність

, (8)

то ряд рівномірно і абсолютно збіжний на множині.

▲

Для доведення теореми достатньо розглянути нерівність ,і використати критерій Коші для числових рядів і теорему4.

▼

Зауважимо, що в цій теоремі, ряд називається мажорант ним рядом для нашого функціонального ряду. Отже, щоб застосувати теорему Вейерштрасса, потрібно для досліджуваного на рівномірну збіжність функціонального ряду, на множиніпідібрати збіжний мажорант ний ряд. Інколи такого ряду може і не існувати, але це не означає що ряд не буде рівномірно збіжним на. А що ж робити у такому випадку? Виявляється, як і для числових рядів були ефективні ознаки Абеля-Діріхле, так і тут, на їх базі утворюють відповідні ознаки рівномірної збіжності функціональних рядів.

Перед формулюванням цих ознак введемо таке поняття.

Означення. Послідовність називається рівномірно обмеженою на множині, якщоі.

Теорема7. (Перша ознака Абеля-Діріхле рівномірної збіжності ряду). Нехай маємо ряд і. Якщо:

1. послідовність – рівномірно обмежена на;

2. послідовність – монотонна для;

3. послідовність – рівномірно збіжна надо нуля,

тоді ряд рівномірно збіжний на множині.

Теорема 8. (Друга ознака Абеля-Діріхле рівномірної збіжності ряду). Нехай маємо ряд і. Якщо:

1. послідовність – рівномірно збіжна на;

2. послідовність – монотонна для;

3. послідовність – рівномірно обмежена на,

тоді ряд рівномірно збіжний на множині.

Доведення цих ознак одержується перенесенням аналогічних ознак, для числових рядів лише з певними змінами. Правда, для доведення теореми 8 потрібне перетворення Абеля в дещо іншій формі. Напишемо цю іншу форму з якої і одержиться дана теорема.

Нехай маємо ряд ,, (при цьому вважатимемо, що). Тоді матимемо

. (9)

Доведення теореми 7.

▲

Позначимо для ,. Будемо вважати, що.

З умови 1) цієї теореми , а отже, для

. (10)

З умови 3) теореми 7 маємо, ,

. (11)

Візьмемо для конкретності – монотонно зростаюча. Тоді, скориставшись рівністю (9) і монотонністю,, будемо мати

, а це за критерієм Коші означає рівномірну збіжність ряду на множині.

Зауважимо, що ми в наших випадках в доведенні використовували те, що (бомонотонно зростає до нуля!).

▼

Доведення теореми 8.

▲

З умови 3) цієї теореми маємо, що

. (12)

З умови 1) за критерієм Коші рівномірної збіжності отримаємо, ,

. (13)

Візьмемо для конкретності, що послідовність монотонно спадна. Тоді з (9),,, будемо мати,

, а це знову за критерієм Коші рівномірної збіжності ряду означає, що ряд – рівномірно збіжний на множині.

▼

Отже, ми привели декілька теорем які є або критеріями, або ознаками рівномірної збіжності рядів і послідовностей. Вище ми довели теорему, яка показує, що рівномірно збіжні послідовності (а отже і ряди) можуть мати властивості, яких не мають поточково збіжні ряди і послідовності. В наступному параграфі ми розширимо перелік таких властивостей.