27. Несобственныеинт. 1го и 2го порядка.

Инт-лы 1-го рода.

Предположим, что функциязадана на бесконечном промежутке видаи интегрируема на любом конечном отрезке, где. Таким образом, мы можем рассмотреть функцию, Если эта ф-ция имеетlimто числоIназ-ся значением несобственного инт. 1го рода., а сам инт-лназываетсясходящимся.Если же предела не существует (например, если при ), то интеграл называется расходящимсяи не имеет никакого числового значения.    

Несобств. инт-л 1-го рода – это инт-л, у кот.хотя бы 1 из пределов нтегрир-я = - или + ∞

Инт-лы 2го рода.

Пусть функция f удовлетворяет указанным выше условиям на [a;b). Несобственным интегралом второго рода назовём тогда интеграл, значениеI которого равняется левостороннему пределу .Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого числового значения; в этом случае будем условно писать.

28. Среднее значение ф-и на отрезке. Теорема о среднем значении ф-и.

Средн. знач-е ф-и на отр-ке от а до bназ. число: С=;

Теорема:Ср. знач-е ф-и на отрезке находится между миним. и макс-м значением ф-и. Т.е.m≤C≤M.

Док-во:когда ф-я положителна

m≤C≤M

30. Экстремум ф-и нескольких переменных. Необходимое усл-е эктремума.

Глоб. максимум(наиб. значение ф-и в некот. обл-ти)-то ее знач-е, кот. больше любого др. знач-я в этой же обл-ти.

Глоб. минимум(наим. знач. ф-и в некот. обл-ти)-такое знач-е, кот-е меньше люб. др. знач-я в этой же обл-ти.

У глоб. макс. и мин-ов есть общ-е название-экстремумы ф-и.

Необх. усл-е:ф-я многих переменных может иметь экстремум только в точках, в кот.все её частные произв-ые=0. Такие точки назыв. критическими.

29. Ф-и нескольких переменных.

Ф-я 2х переменных– правило, кот.одному элементу из множестваxиyэлемент множестваz.

Для ф-и неск. переменных областью определениякаждого из аргументов наз. множество всех значений аргументов, для кот.имеет смысл заданная ф-я.

1)Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых переменных из области W ставится определенное значение z, то говорят, что z есть функция двух переменных (x,y).

z=f(x,y)

2)Геометрическое изображение функции двух переменных - поверхность.

3)Частное и полное приращение функции.

Полное приращение функции

Dz=f(x+Dx, y+Dy)-f(x,y)

Частное приращение функции

Dx z=f(x+Dx)-f(x,y)

Dy z=f(x,y+Dy)-f(x,y)

Вообще, полное приращение функции не равно сумме частных приращений. Пример. z=xy.

Dx z=(x+Dx)y-xy=yDx

Dy z=x(y+Dy)-xy=xDy

Dz=(x+Dx)(y+Dy)-xy=yDx+xDy+DyDx № Dyz+Dx z.

4)Непрерывность функции нескольких переменных

Предел функции.

Пусть z=f(x,y) определена в некоторой окрестности A(x0,y0).

Определение. Постоянное число b называют пределом z=f(x,y) при P(x,y) стремящемся к A, если для любого e > 0 можно указать такое значение d > 0, что для всех x, удовлетворяющих неравенству |AP| < d, имеет место неравенство |f(x,y)-b| < e.

5)Непрерывная функция

6)Частные производные

32. Частные производные ф-й 2-х переменных.

Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производныхи, которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Частная производнаяобозначается черезили, ачерезили. Таким образом,

,

и, аналогично,

,.

Производные иназываются частными производными второго порядка. Определение:Частной производной второго порядкаот функции z=f(x;y) дифференцируемой в области D,называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможныечастные производные третьего порядка:,,и т. д.

Производные второго и более высокого порядков наз. произв-ми высших порядков.