Основные свойства неопределенного интеграла.

Рассмотрим свойства неопределенного интеграла.

1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

( f(x)dx)_x = f(x).

По определению,  f(x)dx = F(x) + C. Взяв производную от обеих частей, получим

( f(x)dx)_x = (F(x) + C)_x = F(x) = f(x).

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению (дифференциал уничтожает интеграл):

d f(x)dx = f(x)dx.

По определению, f(x)dx = F(x) + C. Взяв дифференциал от обеих частей, получим

d f(x)dx = d(F(x) + C) = dF(x) = F(x)dx = f(x)dx.

3. Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной и дополнительному слагаемому С:

 dF(x) = F(x) + C.

Действительно,

 dF(x) =  F(x)dx =  f(x)dx = F(x) + C.

4. Постоянный множитель r можно вносить за знак неопределенного интеграла:

 rf(x)dx =r f(x)dx.

Справедливость этого равенства проверяется дифференцированием его левой и правой частей

5. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:

 (f₁(x) + f₂(x) – f₃(x))dx =  f₁(x)dx +  f₂(x)dx -  f₃(x)dx.

Это свойство доказывается также с помощью дифференцирования.

Основные формулы интегрирования.

Приведем формулы, которые можно проверить дифференцированием.

1.  dx = x + C.

2. 

3. 

4.  a^xdx = a^x/ln a + C.

5.  e^xdx = e^x + C.

6.  cosxdx = sin x + C.

7.  sin xdx =  cos x + C.

8. 

9. 

10. 

11. 

12.  tg xdx =  ln cos x + C.

13.  ctg xdx = ln sin x + C.

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

ПРОСТЕЙШИЕ СПОСОБЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.

Непосредственное интегрирование. Способ непосредственного интегрирования основан на использовании свойств неопределенного интеграла и приведении подынтегрального выражения к табличной форме.

Пример. Вычислить (2х³ – 3x² + 2х –7)dx.

Решение. В данном примере под знаком интеграла стоит алгебраическая сумма функций. Согласно свойству 5 неопределенного интеграла.

(2х³ – 3х² +2х –7)dx = 2x³dx - 3x²dx + 2xdx - 7dx.

Последовательно применяя свойство 4 интегралов и формулы 1 и 2, получаем

(2х³ – 3х² + 2х – 7)dx = 2x³dx -3x²dx + 2xdx - 7dx=

=

Интегрирование подстановкой (заменой переменной). Этот способ заключается в переходе от данной переменной интегрирования к другой переменной для упрощения подынтегрального выражения и приведения его к одному из табличных.

В интеграле  f(x)dx сделаем подстановку x = (t), где (t) – функция, имеющая непрерывную производную. Тогда:

f(x) = f((t)); dx = (t)dt;  f(x)dx =  f((t))(t)dt.

Пример. Вычислить  sin⁷x cos xdx.

Решение. Вычислим интеграл, использовав метод подстановки:

Интегрирование по частям. Если и = и(х) и -дифференцируемые функции, то откудаИнтегрируя последнее выражение, получаем

или

(1)

Это и есть формула интегрирования по частям.

Способ интегрирования по частям применяется в том случае, когда интеграл в правой части формулы (1) более прост для вычисления, чем исходный.

Пример. Вычислить  x ln xdx.

Решение. Обозначим ln x через и тогда xdx = d. Находим:

du = d(ln x) =  d =  xdx;