Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
106
Добавлен:
13.02.2016
Размер:
587.26 Кб
Скачать

Задание для студентов на практическое №6по теме

«Случайные величины, их распределения и числовые характеристики распределения»

Цель занятия: Научиться решать примеры и задачи по данной теме

Вопросы теории ( исходный уровень)

  1. Слу­чайные величины.

  2. Дискретные и непрерывные случайные величины.

  3. Закон распределения случайной величины.

  4. Числовые параметры случайных величин: математическое ожидание, мода, медиана, дисперсия, среднеквадратическое отклонение.

  5. Примеры различных законов распределения случайных величин.

  6. Нормальный закон распределения случайной величины и его свойства.

  7. Понятие «нормы» в медицинских показателях. (лекция №1)

Содержание занятия:

1.ответить на вопросы по теме занятия

2.решить примеры

Задачи и примеры

30. Найти распределение случайной величины, образующейся при бросании правильного однородного тетраэдра (см. рис. 1 к задаче 7.3) с пронумерованными гранями 1, 2, 3 и 4. Проверить, выпол­няется ли условие нормировки.

31. Указать распределение случайной величины, соответствующей выпадению одной из двух сторон (№ 1 и 2) подброшенной монеты. Проверить, выполняется ли условие нормировки.

32. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадра­тичное отклонение дискретной случайной величины, распределен­ной по условию задачи 8.1.

33. Случайная величина представлена следующим законом рас­пределения:

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадра­тичное отклонение.

34. Случайная величина представлена следующим законом рас­пределения:

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратич­ное отклонение. Дисперсию вычислить двумя способами: по формулам (8.4) и (8.5).

35. График функции распределения вероятностей изображен на рис. 3: f(х) = b (0<х<a); f(х) = 0 (х<0; ха). Найти связь между а и b.

36. График функции распределения вероятностей изображен нарис.4. Найти связь между а и b.

37. Плотность вероятности задана законом:

Найти а.

38. График функции распределения соответствует полуокружно­сти радиуса R, изображенной на рис. 5. Чему равен этот радиус?

Рис. 5 Рис. 6

39. Найти функцию распределения непрерывной случайной ве­личины, соответствующей задачам 8.68.8.

40. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, представленной графиком рис. 3.

41. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, представленной графиком рис. 4.

42. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины, график функции распре­деления вероятностей которой изображен на рис. 6.

43. Нормальный закон распределения задан в форме уравнения (8.12), причем математическое ожидание равно нулю (а = 0). Какова вероятность того, что случайная величина имеет значения х0? x0?

44. Нормальный закон распределения задан в форме уравнения (8.12). Какова вероятность того, что случайная величина принимает значения х < a? х > а?

45. В нормальном законе распределения а = 2;  = 4. Чему равно х, если вероятность того, что случайная величина принимает значения меньшие х, равна 3/4?

46. Нормальный закон распределения представлен графически симметрично относительно х = 0. Найти вероятность того, что слу­чайная величина принимает значения: а) -0<х<; б) -2<х<2; в) -3<х< 3.

47. Показать, что для функции (8.14) выполняется условие нормировки.

Указание:

Тема Математическая статистика

Относительная частота события P*(A)=m/n

где п — число независимых испытаний, в которых случайное событие А происходит m раз.

Вероятность случайного события

P(A)=lim(m/n) (при n→∞)

Вероятность появления одного (безразлично какого) из нескольких несовместных событий (теорема сложения вероятностей). Для двух событий

P( А или В) = Р(А) + Р(В).

Вероятность совместного появления независимых событий (теорема умножения вероятностей)

P(А и В) = Р(А)Р(В).

Р(АиВ)=Р(В/А)Р(А)

Для двух событий вероятность того, что событие А произойдет L раз при п испы-таниях (биномиальное распределение)

Pin=n(n-L)•••(n_-L+1)PL(L-P)n-L ⁄ L!,

где Р — вероятность наступления события А.

Распределением дискретной случайной величины называют сово-

купность ее значений: х1, х2, ... и соответствующих вероятностей:

p(x1)=p1, p(x2)=p2 ….

Условие нормировки для дискретной случайной величины, имею­щей п значений,

Среднее значение дискретной случайной величины

‹X›=(m1 1+m2x2+…+mnxn)/n=x1m1/n+..+xnmn/n

где тi, — число дискретных случайных величин, имеющих значение xi.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

M(X)= x1p1 +..+xnpn

Дисперсия дискретной случайной величины

D(X) = M{[X-M(X)]2},

D(X) = M(X2)-[M(X)]2,

Среднее квадратическое отклонение

S(X)=(D(X))1/2

Вероятность того, что непрерывная случайная величина прини­мает какое-либо значение в интервале (а, b)

где f(x) — плотность вероятности (функция распределения вероятностей) .

Условие нормировки для непрерывной случайной величины

Функция распределения случайной величины

Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Дисперсия непрерывной случайной величины

Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

где а — математическое ожидание случайной величины, σ - среднее квадратическое

отклонение. График закона распределе­ния представлен на рис.

Функция распределения по нормальному закону

F(x)=Ф((x-a)/σ)

Значения функции Ф даны в табл.

Плотность вероятности для проекции скорости молекул газа на ось Ох

где то — масса молекулы, Т — термодинамическая температура газа, k — постоянная Больцмана.

Плотность вероятности для модуля скорости молекул газа (распределение Максвелла по скоростям)

Средняя, средняя квадратичная и навероятнейшая скорости молекул

где R — молярная газовая постоянная, М — молярная масса Плотность вероятности нахождения молекулы газа в однородном гравитационном поле (пример распределения Больцмана)

Давление газа (воздуха), находящегося в однородном гравита­ционном поле, на высоте h (барометрическая формула)

где рh— давление на высоте h=0

Концентрация молекул газа (воздуха), находящегося в однород­ном гравитационном поле, на высоте h

где nо — концентрация молекул газа на высоте h = О

Интервальная оценка генеральной средней (среднее значение ге­неральной совокуп-ности)

xв› - ε< μ < ‹ xв› + ε,

где ‹ xв› — выборочная средняя Эти неравенства выполняются с доверительной вероятностью Р Положительное число ε харак­теризует точность оценки и называется доверительным интер­валом

При большой выборке (n>30)

τ=(εn1/2)/σ

где σ - генеральное среднее квадратическое отклонение Обычно в расчетах берется выборочное среднее квадратическое откло­нение

Связь между τ и P Ф(τ)=(1+P)/2

Интервальная оценка генеральной средней при малой выборке

n≤30

ε=ts/n1/2

Здесь s2=nσb2/(n-1)— исправленная выборочная дисперсия,

где σb2 — выборочная дисперсия Параметр t (коэффициент Стьюдента) для заданных п и Р находят по табл.

Соседние файлы в папке практические 1 семестр