Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
87
Добавлен:
13.02.2016
Размер:
114.69 Кб
Скачать

Задание для студентов на практическое №2 по теме

«Дифференциал функции»

Цель занятия: Научиться решать примеры и задачи по данной теме

Вопросы теории ( исходный уровень)

  1. Применение производных для исследования функций на экстремум.

  2. Дифференциал функции, его геометрический и физический смысл.

  3. Полный дифференциал функции многих переменных.

  4. Состояние организма как функция многих переменных.

  5. Приближенные вычисления.

  6. Нахождение частных производных и полного дифференциала.

  7. Примеры использования указанных понятий в фармако­кинетике, микробиологии и др.

(самостоятельная подготовка)

Содержание занятия:

1.ответить на вопросы по теме занятия

2.решить примеры

Примеры

Найти дифференциалы следующих функций:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

Тема

Применение производных для исследования функций

Условие возрастания функции y = f(x) на отрезке [а, b]

f'(x)>0

Условие убывания функции y=f(x) на отрезке [а, b]

f'(x)<0

Условие максимума функции y=f(x) при x= а

f'(a)=0 и f'' (a)<0

Если при х=а производные f'(а) = 0 и f"(а) = 0, то необходи­мо исследовать f'(x) в окрестностях точки x = а. Функция у=f(х) при х=а имеет максимум, если при переходе через точку х= а производная f'(x) меняет знак с «+» на «-», в случае минимума — с « - » на «+» Если f'(x) не меняет знака при переходе через точку х = а, то в этой точке у функ­ции экстремума нет

Дифференциал функции.

Дифференциал независимой переменной равен ее приращению:

dx=Δx

Дифференциал функции y=f(x)

dy = у' Δх.

Дифференциал суммы (разности) двух функций y=u±v

dy=du±dv.

Дифференциал произведения двух функций у=uv

dy = vdu-\-udv.

Дифференциал частного двух функций y=u/v

dy=(vdu-udv)/v2

Приращение функции

Δy = f(x + Δx) - f(x) ≈ dy ≈ f'(x) • Δx

где Δx: — приращение аргумента.

Приближенное вычисление значения функции:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f'(x) • Δx

Применениедифференциала в приближенных вычислениях

Дифференциал применяется для вычисления абсолютной и отно­сительной погрешностей при косвенных измерениях u = f(x, у, z .). Абсолютная погрешность результата измерения

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Относительная погрешность результата измерения

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ.

Дифференциал функции как главная часть приращения функции. С понятием производной тесно связано понятие дифференциала функции. Пусть функция f(x) непрерывна при данных значениях х и имеет производную

f/x = f(x) + (x), откуда приращение функции f = f(x)x + (x)x, где (х) 0 при х 0. Определим порядок бесконечно малой f(x)x по отношению к бесконечно малой х.:

Следовательно, бесконечно малые f(x)x и x имеют одинаковый порядок малости, то есть f(x)x = Ox.

Определим порядок бесконечно малой (х)х по отношению к бесконечно малой х:

Следовательно, бесконечно малая (х)х имеет более высокий порядок малости по сравнению с бесконечно малой х, то есть (х)х = ох.

Таким образом, бесконечно малое приращение f дифференцируемой функции может быть представлено в виде двух слагаемых: бесконечно малой f(x)x одинакового порядка малости с х и бесконечно малой (х)х более высокого порядка малости по сравнению с бесконечно малой х. Это означает, что в равенстве f=f(x)x + (x)x при х 0 второе слагаемое стремится к нулю «быстрее», чем первое, то есть (х)х = оf(x)x.

Первое слагаемое f(x)x, линейное относительно х, называют дифференциалом функции f(x) в точке х и обозначают dy или df (читается «дэ игрек» или «дэ эф»). Итак,

dy = df = f(x)x.

Аналитический смысл дифференциала заключается в том, что дифференциал функции есть главная часть приращения функции f, линейная относительно приращения аргумента x. Дифференциал функции отличается от приращения функции на бесконечно малую более высокого порядка малости, чем x. Действительно, f=f(x)x + (x)x или f = df + (x)x. Дифференциал аргумента dx равен его приращению x: dx=x.

Пример. Вычислить значение дифференциала функции f(x) = x3 + 2x, когда х изменяется от 1 до 1,1.

Решение. Найдем общее выражение для дифференциала этой функции:

Подставляя значения dx=x=1,1–1= 0,1 и x = 1 в последнюю формулу, получим искомое значение дифференциала: dfx=1; = 0,5.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ.

Частные производные первого порядка. Частной производной первого порядка функции z = f(x,y) по аргументу х в рассматриваемой точке (х; у) называется предел

если он существует.

Частная производная функции z = f(x, y) по аргументу х обозначается одним из следующих символов:

Аналогично частная производная по у обозначается и определяется формулой:

Так как частная производная – это обычная производная функции одного аргумента, то ее нетрудно вычислить. Для этого нужно пользоваться всеми рассмотренными до сих пор правилами дифференцирования, учитывая в каждом случае, какой из аргументов принимается за «постоянное число», а какой служит «переменной дифференцирования».

Замечание. Для нахождения частной производной, например по аргументу х – df/dx, достаточно найти обыкновенную производную функции f(x,y), считая последнюю функцией одного аргумента х, а у – постоянной; для нахождения df/dy – наоборот.

Пример. Найти значения частных производных от функции f(x,y) = 2x2+ y2 в точке Р(1;2).

Решение. Считая f(x,y) функцией одного аргумента х и пользуясь правилами дифференцирования, находим

В точке Р(1;2) значение производной

Считая f(x;y) функцией одного аргумента у, находим

В точке Р(1;2) значение производной

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТА:

Найдите дифференциалы следующих функций:

  1. y=

  2. y=

Решить следующие задачи:

  1. На сколько уменьшится площадь квадрата со стороной х=10см, если сторону уменьшить на 0,01 см?

  2. Дано уравнение движения тела: y=t3/2+2t2, где s – выражено в метрах, t-в секундах. Найти путь s, пройденный телом за t=1,92 с от начала движения.

ЛИТЕРАТУРА

  1. Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики - М.: «Вышэйшая школа», 1978.C198-226.

  2. Бейли Н. Математика в биологии и медицине. Пер. с англ. М.: «Мир», 1970.

  3. Ремизов А.Н., Исакова Н.Х., Максина Л.Г. Сборник задач по медицинской и биологической физике – М.: «Высшая школа», 1987. С16-20.

Соседние файлы в папке практические 1 семестр