Задание для студентов на практическое №5 по теме

«Элементы теории вероятностей. Случайная величина и ее распределение»

Цель занятия: Научиться решать примеры и задачи по данной теме

Вопросы теории ( исходный уровень)

1. Элементы теории вероятностей.

2. Виды случайных событий, теоремы сложения и умножения.

3. Формула Байеса.

4. Вероятностный характер меди­ко-биологических процессов.

Основы применения вероятностных методов в диагностике и прогнозировании заболеваний. (лекция №1)

Содержание занятия:

1.ответить на вопросы по теме занятия

2.решить примеры

Задачи и примеры

1.Из 982 больных, поступивших в хирургическую больницу за месяц, 275 человек имели травмы. Какова относительная частота поступления больных с этим видом заболевания?

2. В институт было подано 1275 заявлений о приеме от девушек и 1084 заявлений от юношей. Каковы относительные частоты подачи заявления для этих групп абитуриентов?

3. Грани правильного тетраэдра (рис. 1) про­нумерованы: 1, 2, 3 и 4. Какова вероятность того, что при бросании тетраэдр встанет на грань с цифрой 1? с цифрой 2? Предполагается, что тетраэдр сделан из однородного материала. Почему необходимо последнее условие?

Рис. 1

4. Условие предыдущей задачи. Найти вероятность того, что на видимых (боковых) гранях тетраэдра будут цифры 1, 2 и 3?

5. В картотеке имеются истории болезней восьми пациентов. Если наугад взять первую, затем вторую, третью и т. д. историю болезней, то какова в каждом случае будет вероятность изъятия нужной истории болезней? Предполагается, что искомая история болезней имеется в картотеке. Рассмотреть два варианта: а) взятые истории болезней не возвращаются в картотеку; б) взятые истории болезней каждый раз возвращаются в картотеку и хаотически рас­полагаются в ней.

6. По гладкому столу катится однородный шар. Вследствие сил трения шар останавливается. Какова вероятность того, что шар остановится, касаясь поверхности стола заранее заданной точкой?

7. Найти вероятность выпадания нечетного числа при бросании игральной кости (однородный куб).

8. В урне находится 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Из нее наугад извлекается один шар. Какова вероятность того, что этот шар будет белый? черный?

9. В условиях предыдущей задачи извлекается черный шар и не возвращается в урну. Какова вероятность извлечь после этого чер­ный шар? белый?

10. В условиях задачи 7.8 извлекается белый шар и не возвра­щается в урну. Какова вероятность извлечь после этого черный шар? белый?

11. В урне находится 10 шаров: 2 белых, 4 черных, 1 красный и 3 синих. Найти вероятность появления белого, или черного, или красного шара при однократной операции изъятия шара из Урны.

Укажите разные способы решения. Используйте понятие «противоположные события».

12. В некоторую больницу поступают пациенты с 4 видами бо­лезней. Многолетние наблюдения показывают, что этим группам заболеваний соответствуют вероятности: 0,1; 0,4; 0,3 и 0,2. Для лечения заболеваний с вероятностью 0,1 и 0,2 необходимо перели­вание крови. Какое количество больных следует обеспечить кровью, если в течение месяца поступило 1000 больных?

13. На странице книги имеется 2500 букв. Буква «а» встречается 225 раз. Какова вероятность того, что случайно выбранная буква будет буквой «а»? Какова вероятность, что случайно выбранная буква не есть «а»?

14. В урне имеется 7 черных и несколько белых шаров. Каков; вероятность вытащить белый шар, если вероятность вынимания черного шара равна 1/6? Сколько белых шаров в урне?

15. Какова вероятность того, что при случайном сочетании цифр 1, 2 и 3 получится число 123? не получится числа 123?

16. В урне имеется 1 черный и 4 белых шара. Шары по одному вынимаются из урны и обратно не возвращаются. Указать, чему равны вероятности вынуть черный шар при первом, втором и т. д. изъятии. Рассмотреть два варианта: а) черный шар оказывается последним; б) черный шар вынимается третьим.

17. В каждой из двух урн имеется по 2 черных и 3 белых шара. Какова вероятность одновременного вынимания из каждой урны по черному шару? по белому?

18. Какова вероятность того, что в результате бросания играль­ной кости 6 раз подряд выпадут единицы?

19. Какова вероятность того, что в результате бросания играль­ной кости шесть раз подряд выпадут следующие последовательности цифр: 1, 2, 3, 4, 5 и 6?

20. Какова вероятность того, что в результате бросания игральной кости б раз подряд выпадут только четные числа?

21. Найти вероятность того, что в семьях из двух детей оба ре­бенка (а) мальчики, (б) девочки, (в) один ребенок — мальчик, дру­гой — девочка. Считать, что вероятность рождения мальчика равна 0,515 и пол каждого последующего ребенка не зависит от пола предыдущих детей.

22. Какова вероятность, что в коллективе из 200 человек у двух лиц дни рождений совпадают?

23. В урне 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Найти вероятность того, что последовательно один за другим будут вынуты шары: а) черный и белый; б) белый и черный.

24. В урне 8 шаров: 3 белых и 5 черных. Найти вероятность того, что последовательно один за другим будут вынуты два черных шара? два белых шара?

25. Исходя из многолетних наблюдений, вызов врача в некоторый дом оценивается вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что из 5 вызовов врача 2 вызова будут в данный дом.

26. Из десяти облигаций в тираже в среднем выигрывает одна. Какова вероятность того, что из двадцати облигаций выиграет только одна?

27. Условия предыдущей задачи. Какова вероятность того, что из десяти облигаций выиграет только одна? Поясните, почему в этом случае вероятность больше, чем в задаче 7.26?

28. Найти вероятность того, что из четырех облигаций выиграет: а) только одна; б) по крайней мере одна. Вероятность выигрыша i отдельной облигации равна 0,1.

29. Установлено, что лица из определенной группы людей заболевают в среднем два раза в году. Считая, что каждое заболевание имеет продолжительность 10 дней, получаем

365-2*10=345 дней, когда человек здоров. Таким образом, можно оценить вероятность заболевания одним человеком как р = 2/345 = 0,0058. Какова вероятность того, что из 10 человек сегодня заболевают трое? Заболевания в этой задаче рассматриваются как независимые события (без учета заражения).

Тема Теория вероятностей.

Теория вероятностей изучает закономерности, проявляющиеся при изучении результатов таких экспериментов, конкретный результат которых до их проведения невозможно с определенностью предсказать.

Пусть некоторый эксперимент, или, согласно терминологии, используемой в теории вероятностей, испытание, может быть, по крайней мере теоретически, проведено в одних и тех же условиях неограниченное количество раз. Результатом каждого испытания является тот или иной его исход, называемый событием. Поскольку в теории вероятностей речь идет о таких испытаниях, исход которых не может быть однозначно предопределен, то соответству­ющие события называют случайными событиями. Например, случайным событием является выпадение цифры 2 при бросании игрального кубика, на гранях которого изображены цифры 1, 2, 3, 4, 5 и 6, наличие (как, впрочем, и отсутствие) некоторого препа­рата в конкретной, наугад выбранной аптеке в данный момент времени. Иными словами, случайное событие — это такое событие, которое в результате испытания может произойти, а может и не произойти. Случайные события принято обозначать большими буквами латинского алфавита: А, В, С, D и т.д.

Некоторые виды случайных событий

Определение. Событие называется достоверным в данном испытании, если в результате испытания оно обязательно происходит.

Например, достоверным является событие, состоящее в извлечении наугад упаковки аспирина из ящика, в котором находятся только упаковки аспирина.

Определение. Событие называется невозможным в данном испытании, если оно не может произойти в результате испытания.

Например, невозможным является событие, состоящее в извлечении наугад упаковки аспирина из ящика, в котором находятся только упаковки анальгина.

Строго говоря, как невозможное, так и достоверное события не являются случайными, поскольку их соответственно ненаступ­ление и наступление предопределены условиями испытания.

Любое же из действительно случайных событий, т.е. событий, происходящих в результате испытания не наверняка, по мере возможности своего осуществления находится между событиями невозможными и достоверными.

Определение. Случайные события А,, А₂, ..., А_п называются несовместными, если осуществление любого из них в результате испытания исключает осуществление при этом других перечисленных событий.

Например, если событие А, состоит в выпадении цифры / при однократном бросании игрального кубика, событие А₂ — в выпадении цифры 2, и т.д., то события А,, А₂, ..., А_в являются несовместными, поскольку осуществление любого из них исклю­чает наступление остальных событий в этом испытании.

Определение. Случайные события А,, А₂, ..., А_п называются совместными, если осуществление любого из них в результате испытания не исключает осуществления при этом других из перечисленных событий.

Например, если событие А, состоит в выпадении цифры / при однократном бросании игрального кубика, а событие А₂ — в выпадении нечетного числа очков, то эти два события — совме­стные, поскольку цифра / является нечетным числом.

Определение. Случайное событие В называется благоприятствующим для события А, если при наступлении события В обязательно наступает событие А.

В качестве примера рассмотрим корзину, в которой находятся 10 одинаковых по форме шаров (7 — белого цвета, 3 — красного) с указанными на них номерами от 1 до 10, причем все шары с четными номерами — белые. Из корзины наугад извлекают один шар. При этом событие В, состоящее в извлечении шара с чет­ным номером, является благоприятствующим для события А, со­стоящего в извлечении белого шара, поскольку если в результате испытания извлечен шар с четным номером, то он обязательно белый.

Определение. Элементарными событиями (элементарными исходами) испытания называются все возможные результаты испытания, взаимно исключающие друг друга.

Например, несовместные события А,, А₂, ..., A_s, состоящие в выпадении соответственно цифр 1, 2, 3 и т. д. при бросании игрального кубика, представляют собой элементарные события для данного испытания.

Определение. Совокупность случайных событий А, А₂, ..., А_п называется полной группой событий для данного испытания, если в результате испытания обязательно происходит только одно из событий этой совокупности.

Например, случайные события, состоящие соответственно в извлечении упаковки анальгина (событие А, ), аспирина (событие А₂) и амидопирина (событие А₃), составляют полную группу случайных событий для испытания, в котором из коробки, содер­жащей только такие упаковки, извлекают наугад одну.

Определение. Случайные события А,, А₂, .... А_п называются равновозможными для данного испытания, если не существует никаких объективных причин, вследствие которых какие-либо из этих событий имели большие возможности для осуществления, чем другие.

Например, элементарные события А,, А₂, ..., А₆, состоящие в выпадении соответственно цифр 1, 2, 3 и т. д. при бросании игрального кубика, являются равновозможными для данного ис­пытания, поскольку нет никаких оснований с большей уверенно­стью ожидать выпадения какой-либо одной грани игрального кубика, чем любой другой.