Приклади розв’язання задач

З

Рис. 45

адача 1. Тіло вагою Р=100Н рухається поступально вгору по негладенькій похилій площині, що утворює з горизонтом кут α=30⁰, під дією сили , яка утворює з площиною кутβ=45⁰. Чому має дорівнювати модуль сили F для того, щоб через час t=10с після початку руху, швидкість тіла дорівнювала v=4м/с? Коефіцієнт тертя ковзання f=0,2 (рис. 45).

Розв’язання

Тіло, яке рухається поступально, розглядаємо як матеріальну точку С, в якій зосереджена вся маса тіла. На неї діють такі сили: сила ваги тіла , нормальна реакціяплощини, рушійна силата сила тертя(див. рис. 45).

Вісь х напрямимо вздовж прямої, по якій рухається точка С.

Згідно теореми про зміну кількості руху точки:

. (1)

Оскільки сили, що діють на точку, сталі за величинами, то:

.

Для визначення нормальної реакції площини спроектуємо всі сили на вісь y:

,

звідки

, тоді .

За умовою задачі v_0х=0, v_1х=v.

Підставимо визначені значення сил у рівняння (1), будемо мати:

.

Розв’яжемо це рівняння з метою визначення сили F:

;

;

.

З останнього рівняння маємо:

Задача 2. Граната, яка летить зі швидкістю v=20м/с, розірвалась у повітрі на два осколки масами m₁=6кг і m₂=4кг. Швидкість більшого осколка збільшилась у напрямку руху до v₁=40м/с. Знайти швидкість і напрямок руху меншого осколка.

Розв’язання

Частини гранати будемо розглядати як систему матеріальних точок. Напрямимо вісь х у бік руху гранати і запишемо рівняння, що виражає закон збереження кількості руху системи, в проекції на цю вісь:

,

де – маса всієї гранати.

З цього співвідношення знаходимо швидкість меншого осколка:

.

Знак «мінус» вказує на те, що менший осколок полетить у напрямку, протилежному руху гранати.

Задача 3. При обертанні барабана 1 масою m₁ і радіусом r₁ навколо нерухомої осі z на його бокову поверхню намотується нитка, яка рухає вантаж 2 масою m₂, що ковзає по нерухомій горизонтальній площині (рис. 46). Обчислити головний момент кількості руху системи відносно осі z у залежності від кутової швидкості ω, а також кутове прискорення барабана, якщо до нього прикладений обертальний момент m_об, а коефіцієнт тертя ковзання вантажу об площину дорівнює f. Барабан вважати однорідним круглим диском. Масою нитки нехтуємо. Вісь z напрямлена перпендикулярно до площини рисунка.

Розв’язання

Д

Рис. 46

о складу системи входять два твердих тіла: барабан і вантаж. Тому

,

де – головний момент кількості руху барабана, а– головний момент кількості руху вантажу відносно нерухомої осіz.

Знайдемо за формулою, де– осьовий момент інерції барабана.

Головний момент кількості руху вантажу, який рухається поступально, визначається як момент кількості руху матеріальної точки. Тобто . Оскільки, то.

Тоді головний момент кількості руху системи відносно осі z:

(1)

Зобразимо всі зовнішні сили і момент системи: – сила ваги барабана,– сила ваги вантажу,і– складові реакції осі барабана,– нормальна реакція площини,– сила тертя ковзання та– обертальний момент (див. рис. 46).

Застосуємо теорему про зміну головного моменту кількості руху системи відносно осі z.

(2)

Враховуючи, що ,, а сили,,прикладені в точці, яка лежить на осіz, маємо:

.

Визначаємо: .

Підставляючи попередні результати в рівняння (2) і розв’язуючи відносно ω', отримаємо кутове прискорення:

,

.