Приклади розв’язання задач

Задача 1. Знайти рівняння руху шатуна стругального верстата, якщо кривошип обертається рівномірно: r – довжина кривошипа, L – довжина шатуна, ω₀ – кутова швидкість кривошипа (рис. 32).

Розв’язання

Ш

Рис.32

атунАВ=L виконує плоскопаралельний рух. Знайти рівняння його руху – означає визначити координати руху точки-полюса А(х_А, у_А), а також кут повороту точки В навколо полюса А, тобто φ=f(t). Як видно з ∆OAD, x_А=OD=r cosα, y_A=AD=r sinα. Оскільки кривошип ОА=r обертається рівномірно, то кут α дорівнює α=ω₀t.

Отже, рівняння руху шатуна: x_А=r cosω₀t, y_A=r sinω₀t.

Далі визначимо sinφ:

sin φ==.

Звідки:

φ=arcsin(sinω₀t).

З

Рис.33

адача 2. Колесо трактора радіусом R=0,8м котиться без ковзання по прямолінійній ділянці шляху, причому швидкість його центра О дорівнює v₀=4м/с. Визначити швидкість кінців вертикального і горизонтального діаметрів колеса та кутову швидкість колеса.

Розв’язання

За умовою задачі колесо трактора котиться без ковзання, тому швидкість у точці дотикання колеса до площини дорівнює нулю. Тому точка D є миттьовим центром швидкостей колеса (рис.33). Знаючи швидкість точки О, визначимо кутову швидкість колеса:

ω=(с^–1).

Використовуючи властивості миттьового центра швидкостей, визначаємо модулі швидкостей точок А, В та С колеса:

;

;

.

Вектори швидкостей точок А, В і С перпендикулярні до прямих, які сполучають ці точки з миттьовим центром швидкостей (див. рис. 33).

З

Рис.34

адача 3.У гідравлічній турбіні вода з напрямного апарата попадає в робоче колесо, що обертається, лопатки якого поставлені з запобіжною метою проти входу води з ударом так, щоб відносна швидкість дотикалась до лопатки. Знайти відносну швидкість частинки води на зовнішньому ободі колеса (у момент входу), якщо її абсолютна швидкість при вході=15м/с, кут між абсолютною швидкістю і радіусом α=60⁰, радіус входу R=2м, частота обертання колеса n=30об/хв (рис.34).

Розв’язання

Для визначення відносної швидкості частинки води М на зовнішньому ободі колеса скористаємося тим, що відносна швидкість – це вектор, який дорівнює геометричній сумі двох векторів: вектора абсолютної швидкостіі вектора, що дорівнює за величиною переносній швидкості, але протилежного їй за напрямком:

.

Знайдемо спочатку переносну швидкість . Переносним рухом частинки водиМ є обертальний рух колеса навколо осі О з кутовою швидкістю:

=π (с^-1).

Отже, переносна швидкість точки М дорівнює:

(м/с).

Вона напрямлена перпендикулярно до радіуса ОМ у бік обертання. Відклавши в протилежну сторону вектор –, за правилом паралелограма додамо швидкостіі –. Відносна швидкість точкиМ напрямлена по діагоналі побудованого на цих векторах паралелограма.

Модуль її визначається формулою:

Задача 4. Вертикальний підйом гелікоптера проходить згідно рівняння z=0,25t², де t виражено в секундах, z – в метрах. При цьому рівняння обертання гвинта має вид: φ=3t², де t – в секундах, φ – в радіанах. Визначити абсолютну швидкість та прискорення точки гвинта, розташованої на відстані R=0,5м від вертикальної осі обертання, в кінці 5секунди.