Розв’язання

Визначимо проекції вектора швидкості точки на осі координат:

; ;.

Тепер визначимо проекції вектора прискорення точки на осі координат:

; ;.

У момент часу t=1c маємо а_х=4м/с², а_у=6м/с², а_z=2м/с².

Тепер визначимо проекції сили на координатні осі:

F_x=ma_x=1·4=4(H), F_y=ma_y=1·6=6(H), F_z=ma_z=1·2=2(H).

Знайдемо величину та напрямок сили:

(Н);

cos(,ˆx)==;

cos(,ˆy)==;

cos(,ˆz)==.

З

Рис. 36

адача 2.Кулька, маса якої m=0,1кг падає під дією сили ваги і при цьому зазнає опір повітря. Рух кульки виражається рівнянням: , дех – у метрах, t – у секундах, вісь Oх напрямлена по вертикалі вниз. Визначити силу опору повітря R, та виразити її як функцію швидкості кульки.

Розв’язання

З умови задачі відомо, що кулька рухається вздовж однієї осі Oх під дією сил і(рис.36). Запишемо диференціальне рівняння руху матеріальної точки в проекції на вісьOх:

.

Тоді: , де.

Отже, для визначення сили опору повітря R, треба знати проекцію вектора прискорення на вісьOх:

; .

Підставимо в рівняння значення, маємо:

(H).

Виразимо силу опору як функцію швидкості:

(Н).

Питання для самоконтролю

1. Що вивчає динаміка? Які її завдання?

2. Сформулювати перший закон динаміки. Яка система відліку називається інерціальною?

3. Сформулювати другий (основний) закон динаміки? В якій системі відліку він справедливий?

4. Сутність третього закону динаміки.

5. Сформулювати принцип незалежності дії сил.

6. Диференціальні рівняння руху матеріальної точки в трьох формах: векторній, координатній і натуральній.

7. Дві задачі динаміки матеріальної точки. Сутність першої задачі.

8. Послідовність розв’язання першої задачі динаміки точки.

Задачі для самостійного розв’язання

Задача 9.1. Поршень двигуна внутрішнього згорання здійснює горизонтальні коливання відповідно до закону , деr – довжина кривошипа, l – довжина шатуна, – стала за величиною кутова швидкість вала. Визначити найбільше значення сили, що діє на поршень, якщо маса останньогоМ.

Відповідь: .

Задача 9.2. Тіло масою 2,04кг здійснює коливальний рух вздовж горизонтальної прямої згідно закону . Знайти залежність сили, що діє на тіло, від координатих, а також найбільшу величину цієї сили.

Відповідь: F= –5,033х Н, F_max=50,33 Н.

Задача 9.3. Рух матеріальної точки масою 0,2кг виражається рівняннями t cм, t cм (t в секундах). Визначити проекції сили, що діє на точку, в залежності від її координат.

Відповідь: F_х= –0,0789х Н, F_у= –0,0197у Н.

Задача 9.4. Вантаж масою 0,2кг підвішений до кінця нитки довжиною 1м; внаслідок поштовху вантаж дістав горизонтальну швидкість 5м/с. Знайти натяг нитки безпосередньо після поштовху.

Відповідь: 6,96Н.

Задача 9.5. У шахті опускається рівноприскорено ліфт масою 280кг. У перші 10с він проходить 35м. Знайти натяг канату, на якому висить ліфт.

Відповідь: 2548Н.

Задача 9.6. Камінь масою 0,3кг, прив'язаний до нитки завдовжки 1м, описує коло у вертикальній площині. Визначити найменшу кутову швидкість каменю, при якій відбудеться розривання нитки, якщо опір розриванню дорівнює 9Н.

Відповідь: .

Задача 9.7. У вагоні потяга, який йде спочатку по прямолінійному шляху, а потім по закругленому зі швидкістю 20м/с, відбувається зважування деякого вантажу на пружинних вагах; ваги в першому випадку показують 50Н, а на закругленні 51Н. Визначити радіус закруглення шляху.

Відповідь: 203м.

Задача 9.8. Автомобіль масою 1000кг рухається по випуклому мосту зі швидкістю . Радіус кривизни на середині моста. Визначити силу тиску автомобіля на міст у момент проходження його через середину моста.

Відповідь: 7800Н.

Задача 9.9. Маса кузова трамвайного вагона 10000кг. Маса платформи з колесами 1000кг. Визначити силу найбільшого і найменшого тиску вагона на рейки горизонтального прямолінійного відрізку шляху, якщо на ходу кузов на ресорах здійснює вертикальні гармонійні коливання за законом .

Відповідь: N_max=12,78·10⁴H, N_mіп=8,78·10⁴H.

Задача 9.10. Сито рудозбагачувального грохоту здійснює вертикальні гармонійні коливання з амплітудою а=5см. Знайти найменшу частоту k коливань сита, при якій грудки руди, що лежать на ньому, будуть відокремлюватися від нього і підкидатися вгору.

Відповідь: .