Вопрос №13 Транспортная задача. Метод потенциалов. Вырождение.

Основывается на "теореме потенциалов": если какой-либо план ТЗ является оптимальным, то ему соответствует система m+n чисел u_i и v_j, удовлетворяет условию:

u_i + v_j = С_ij для x_ij > 0 клетка заполняется

u_i + v_j <= С_ij для x_ij = 0 клетка не заполняется

С_ij – соответствующий элемент матрицы тарифов, x_ij – для матрицы перевозок.

Числа u_i и v_j – потенциалы, они – для каждой клетки распределительной таблицы.

Суть метода: т.к. для невыраженного плана число заполненных клеток m+n+1, число условий - m+n , то какой-либо потенциал строки или столбца - произвольный(обычно = 0). Остальные потенциалы вычисляются из условия: u_i + v_j = С_ij. Затем для каждой пустой клетки вычисляется оценка: S_ij= С_ij-( u_i + v_j). Если для всех пустых клеток : S_ij>=0 , то план оптимальный.

Если все : Sij>0, то единственный план оптимальный. Если какая-либо оценка : S_ij=0, то существует множество значений оптимальных планов.

Если план не оптимальный, т.е. существуют оценки : S_ij< 0 , то выбирают наиболее перспективную пустую клетку (у нее max модуль), и для нее строят так называемый цикл( чтобы ее заполнить). Цикл – замкнутая ломанная линия, одна из его вершин – в пустой клетке, а остальные вершины в заполненных клетках.

Виды циклов: вершин – четное число( перспективной клетке присваивается "+", знаки чередуются, обход произвольный). Далее анализируем матрицу перевозок в отрицательных вершинах и выбираем наименьший элемент. Его перемещаем в клетки со знаком "+" и убирают из клеток со знаком "-".(т.е. прибавляют и вычитаю соответственно).

После перераспределяют поставки груза, вновь вычисляют потенциалы для новой таблицы и оценки для всех пустых клеток. Если все оценки Sij>=0, то план оптимальный, иначе все повторяется.

Вопрос № 14: Графический метод решения задач линейного программирования.

Условие задачи линейного программирования при решении графическим методом должно состоять из 3 частей:

1) целевая функция: max Z = C₁ X₁ + C₂X₂ – простейшая линейная функция, состоящая из двух переменных;

2) ограничения:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂b₁

a₂₁x₁ + a2₂x₂b₂

…

a_n1x₁ + a_n2x₂b_n

3) условие неотрицательности:

x_1,20

Решение задачи сводится к нескольким пунктам:

- решаем неравенства-ограничения, для этого каждое неравенство записываем в виде равенства, строим прямые, а затем выбираем в какой полуплоскости находится решение неравенства. Область, являющаяся пересечений всех решений неравенств-ограничений называется областью допустимых решений(ОДР). В общем случае она представляет собой выпуклый многоугольник, хотя может быть в виде прямой, отрезка, точки(единственное решение) или в виде пустого множества(в этом случае решений нет). Любая точка из ОДР является решением задачи. Но выбранная произвольно, оно будет не оптимальным.

- для нахождения оптимального решения, нужно дополнительно рассматривать целевую функцию Z = C₁X₁+C₂X₂. Придадим ей числовое значение: предположим, что L = C₁X₁+C₂X₂ = 0 это прямая, выходящая через начало координат. Придадим ей другое значение C₁X₁+C₂X₂ = d₁, и т.д. присваивая те или иные значения, получим набор параллельных прямых – это линии уровня. Если мы построим вектор, с координатами (С₂, С₁ ) – вершина, а начало – (0, 0), то мы получим градиент (grad Z) – вектор, который показывает направление возрастания целевой функции. Отсюда можно найти решение (См рис 1.).

Теорема: если задача линейного программирования имеет решение, то это решение находится на вершине многогранника (или на грани – в этом случае множество решений) ОДР.

Так же графически можно решать задачу линейного программирования и со многими переменными, но только если число переменных m и число независимых линейных ограничений связаны соотношением n-m2.