Вопрос №11 Симплекс-метод. Переход к нехудшему плану. М-задача.

Метод заключается в переборе вершин многогранника с целью нахождения оптимальной. Для этого выбирается начальный опорный план(вершина) и проверяют его. Если он им не является, то переходим к следующей по кратчайшему пути. Итого, необходимо:

1. построить начальный опорный план

2. наличие критерия оптимальности опорного плана

3. переход к нехудшему плану

Переход к нехудшему опорному плану: допустим среди оценок свободных членов есть отрицательные. Выберем maxj. Она будет . Столбец, соответствующий этой оценке, наз. разрешающим. Для всех положительных элементов этого столбца вычисляются симплекные отношения. Среди них выбирается минимальный и строка, соответствующая миним. симплексн. отношению, наз. разрешающей. Элемент, находящийся на пересечении разреш. столбца и разреш. строки, наз. главным (). Переменная, соответствующая разр.столбцу, является перспективной для введения в базис вместо переменной разр.строки. Новое значение целевой функции:.

Элементы строки i0 нового плана = соответствующим элементам разр.строки предыд.плана деленным на главный элемент, т.е. . Для свободных членов:. Элементы столбцаj0 нового плана = 0, кроме соответствующего элементу =1. Все остальные элементы нового плана отыскиваются по правилу прямоугольника или по формулам:и.

М-задача. Если ограничения имеют вид (i=1,m), то

, где - непредпочтительные(0;0;…;0;-b₁;-b₂;…;-b_m)

, (0;0;…;0;b₁;b₂;…;b_m), _i-искуств.базис

Если в оптимальном плане М-задачи все _i=0, то этот план будет оптимальным и для исходной задачи. Если в оптимальном плане М-задачи хоть одна _i0, то исходная задача не имеет допустимых решений(ограничения не совместны).

Вопрос № 12 Решение транспортной задачи линейного программирования методом потенциалов

Транспортная задача(ТЗ) формулируется следующим образом:

В m пунктах отправления А1 ..... А_m сосредоточен однородный груз в количествах соответственно а1....а_m единиц. Имеющийся груз должен быть доставлен n потребителям В1..... Вn, спрос которых выражается ве­личинами b1,..., b_n. Известна стоимость сij перевозки единицы груза из i-го (i=1,...,m) пункта отправления в j-й (j = 1,..., n) пункт назначения. Требуется составить такой план перевозок, который обеспечивал бы при минимальных транспортных издержках удовлетворение спроса всех потребителей в грузе.

Обозначим через xij,(i=1,...,m, j = 1,..., n), Хij ≥ 0 количество еди­ниц груза, которое необходимо доставить из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения. Матрицу X = [ хij] размерностью m×n называют матрицей перевозок, матрицу С = [ с ij] m×n - матриией тарифов. Для наглядности транспортную задачу представляют распределительной таблицей :

Табл. 3.1

Поставщик	Потребитель				Запас груза аi
	B1	В2	• • •	Вn
	Затраты на перевозку I ед. груза Объём перевозки
а1	С1 Х11	С12 Х12	...	С1n X1n	a1
a2	С21 Х21	C22 Х22	...	С2n Х2n	a2
…	…	…	…	…	…
am	Сm1 Хm1	Сm2 X m2	...	Сmn X mn	am
Потребность в грузе bj	b1	b2	…	bn

Экономико-математическая модель ТЗ имеет следующий вид:

(3.1)

(3.2)

(3.3)

где целевая функция (3.1) выражает общие затраты на реализацию плана перевозок которые должны быть минимальными; ограничения по запасам (3.2) означают, что груз следует полностью вывести из j- го пункта отправления; ограничения по потребностям (3.3) означают, что спрос в j-ом пункте назначения должен быть полностью удовлетворён. Для разрешимости ТЗ необходимо и достаточно, чтобы сумма запасов груза в пунктах отправления равнялось сумме спроса во всех пунктах назначения. Такая задача называется сбалансированной (а её модель - закрытой), в противном случае - задача несбалансирована (с открытой моделью).

Система ограничений модели содержит m+n уравнений с mn переменными xij. Ранг матрицы системы ограничений ТЗ на единицу меньше числа ограничений r=m+n-1. Хотя для решения ТЗ можно было бы использовать симплекс-метод, в силу особенностей системы ограничений существует более простой способ её решения. Решение ТЗ проводится непосредственно в распределительной таблице с помощью общего приёма последовательного улучшения плана:I.Исходный опорный план можно построить методом "северо-западного угла", методом "минимального элемента", методом Фогеля. Идея метода "северо-западного угла” состоит в заполнении таблицы, начиная с верхнего левого угла. В клетку (1,1) записывают значение переменной х ₁₁ = min { a1, b1} и в результате либо запасы первого пункта отправления исчерпаны, либо спрос первого потребителя удовлетво­рён полностью. Исключаем из дальнейшего рассмотрения первую строку (или первый столбец), корректируем спрос первого потреби­теля (или запас первого отправителя) на величину х ₁₁ и продолжаем заполнение верхнего левого угла оставшейся таблицы. Полу­чившееся опорное решение будет удовлетворять ограничениям по запасам и потребностям и должно иметь r=т+п-1 занятых клеток в матрице перевозок. Если число заполненных клеток меньше m+n-1, то план называется вырожденным. В этом случае выбирают недо­стающее число свободных клеток ( как правило. с наименьшими стоимостями) и считают их заполненными нулевыми перевозками. Важно, чтобы выбранные клетки не образовывали цикла с запол­ненными ранее.

2. Оценка оптимальности плана производится при помощи потенциалов - системы m+n чисел ui,vj удовлетворяющих условию:

3. ui + vj =Сij для каждой занятой клетки. (3.4)

Система (3.4) содержит m+n-1 уравнение с m+n неизвестными. По этому одной переменной можно приписать произвольное (например, нулевое) значение, значения остальных переменных находят, решая систему (3.4). Если для всех свободных клеток ui +vj<=Сij ,то план -оптимальный.

4. Переход к следующему опорному плану осуществляется в случае, если хотя бы для одной свободной клетки ui + vj >=Сij .Выбирается наибо­лее перспективная клетка - та, у которой разность между суммой по­тенциалов и тарифом наибольшая, - и для нее строится цикл пересчё­та. Для этого помечаем выбранную свободную клетку знаком"+" и продвигаемся по горизонтали (или по вертикали) до заполненной клетки. Эта клетка может быть очередной вершиной цикла и поме­чаться знаком "-", если последующее от неё продвижение, сменив на­правление, приводит по вертикали к очередной заполненной клет­ке. И так далее, пока цикл не будет замкнут в начальной свободной клетке. Для каждой свободной клетки всегда можно построить един­ственный цикл. В цикле всегда чётное число клеток - одна свободная, остальные занятые, цикл может иметь любую конфигурацию:

5.Среди чисел, расположенных в клетках, помеченных "-" опреде­ляем наименьшее (наименьший объём поставок).Вычитаем его из кле­ток с "-" и прибавляем к клеткам с "+". В результате такого перерас­пределения поставок баланс цикла не изменится и будет получен но­вый опорный план.