- •Учреждение образования «Высший государственный колледж связи»
- •Теория электросвязи
- •Раздел 1. Основы анализа сигналов.
- •1.1. Основные элементы функционального анализа сигналов. Норма и метрика.
- •1.2 Ортогональные сигналы. Ортонормированный базис. Обобщенный ряд Фурье
- •Раздел 2. Основы спектрального анализа сигналов
- •2.1 Теоремы о спектрах
- •2.3. Спектры модулированных сигналов.
- •2.3.1 Спектры амплитудно модулированных сигналов
- •2.3.2 Спектр сигналов с угловой модуляцией
- •Раздел 3. Аналитический сигнал и преобразования Гильберта
- •3.1 Аналитический сигнал. Основные понятия и определения. Спектр аналитического сигнала.
- •3.2 Преобразования Гильберта и его свойства. Применение пре образования Гильберта.
- •Раздел 4. Основы корреляционного анализа сигналов
- •4.1. Автокорреляционная функция сигналов
- •4.2. Взаимокорреляционная функция двух сигналов
- •Раздел 5. Основные элементы цифровой обработки сигналов
- •5.1. Дискретное преобразование Фурье
- •5.2. Быстрое преобразование Фурье
- •Раздел 6. Математические модели приема сигналов на фоне помех
- •6.1. Стационарные и эргодические случайные процессы.
- •6.2. Спектральное представление стационарных случайных процессов. Теорема Винера-Хинчина
- •Раздел 7. Математические модели приема сигналов на фоне помех (окончание)
- •7.1 Типовые модели случайных сигналов
- •7.2 Узкополосные случайные сигналы
- •Раздел 8. Основные сведения о шумоподобных сигналах
- •8.1 Шумоподобные сигналы и их свойства. Применение шумоподобных сигналов.
- •Раздел 9. Основы теории разделения сигналов
- •9.1 Основные положения линейной теории сигналов.
- •9.2 Структурная схема системы многоканальной передачи информации.
- •Раздел 10. Основные положения теории передачи информации
- •10.1 Информационные характеристики дискретных сообщений и сигналов
- •10.2 Взаимная информация
- •10.3. Информация в непрерывных сигналах. Дифференциальная энтропия.
- •10.4. Пропускная способность канала связи
- •10.5. Информация в непрерывных сообщениях. Эпсилон-энтропия
- •Раздел 11. Принципы оптимальной обработки сигналов на фоне помех
- •11.1. Задача оптимального приёма дискретных сообщений
- •11.2. Элементы теории решений
- •11.3. Критерии оптимизации приёма дискретных сообщений
- •11.4 Алгоритм оптимального приёма при полностью известных сигналах. (Когерентный приём)
- •Раздел 12. Принципы оптимальной обработки сигналов на фоне помех (продолжение)
- •16.5 Реализация алгоритма оптимального приема на основе корреляторов
- •12.2 Реализация алгоритма оптимального приёма на основе согласованных фильтров. Свойства согласованного фильтра
- •12.3 Потенциальная помехоустойчивость систем с различными видами манипуляции
- •Раздел 13. Принципы оптимальной обработки сигналов на фоне помех (окончание)
- •13.1 Оптимальный прием дискретных сообщений с неопределенной фазой (Некогерентный прием).
- •13.2 Помехоустойчивость систем с различными видами дискретной модуляции при некогерентном приеме
- •13.3 Прием дискретных сообщений в каналах с замираниями
- •Раздел 14. Основы цифровой обработки сигналов
- •14.1 Основные принципы цифровой фильтрации. Характеристики и свойства цифровых фильтров.
- •14.2 Алгоритм линейной цифровой фильтрации.
- •Тема 15. Основы цифровой обработки сигналов (окончание)
- •15.1 Трансверсальные цифровые фильтры.
- •15.2 Рекурсивные цф. Устойчивость цифровых фильтров
- •Раздел 16. Введение в вейвлет-преобразования сигналов
- •16.1 Понятие вейвлет-преобразования. Основные вейвлеты, применяемые в системах связи.
- •16.2 Дискретный вейвлет-анализ.
- •16.3 Непрерывное вейвлет-преобразование
- •Содержание.
Раздел 7. Математические модели приема сигналов на фоне помех (окончание)
7.1 Типовые модели случайных сигналов
А) Белый шум.
стационарный случайный процесс с постоянной на всех частотах спектральной плотностью мощности называется белым шумом.
(7.1)
Термин «белый шум» образно подчёркивает аналогию с «белым» (естественным) светом, у которого в пределах видимого диапазона интенсивность всех спектральных составляющих приблизительно одинакова.
По теореме Винера-Хинчина функция корреляции белого шума:
равна нулю всюду кроме точки . Средняя мощность (дисперсия) белого шума неограниченно велика.
Белый шум является дельта-коррелированным процессом. Некоррелированность мгновенных значений такого случайного сигнала означает бесконечно большую скорость изменения их во времени – как бы мал ни был интервал , сигнал за это время может измениться на любую наперёд заданную величину.
Белый шум является абстрактной математической моделью и отвечающий ему физический процесс, безусловно, не существует в природе. Однако это не мешает приближённо заменять реальные достаточно широкополосные случайные процессы белым шумом в тех случаях, когда полоса пропускания цепи, на которую воздействует случайный сигнал, оказывается существенно уже эффективной ширины спектра шума.
Б) Гауссово (нормальное) распределение.
В теории случайных сигналов фундаментальное значение имеет гауссова плотность вероятности.
(7.2)
содержащая два числовых параметра m и . График данной функции представляет собой колоколообразную кривую с единственным максимумом в точкеx=m. При уменьшении график всё более локализуется в окрестности точкиx=m.
Непосредственным вычислением можно убедиться, что параметры гауссова распределения имеют смысл соответственно математического ожидания и дисперсии: ;. Функция распределения гауссовой случайной величины
Замена переменной даёт:
(7.3)
Здесь Ф интеграл вероятностей
График функции F(x) имеет вид монотонной кривой, изменяющейся от 0 до 1.
7.2 Узкополосные случайные сигналы
Исследуем свойства узкополосных случайных сигналов, у которых спектральная плотность мощности имеет резко выраженный максимум вблизи некоторой частоты , отличной от нуля. Определим функцию корреляции узкополосного случайного процесса.
Рассмотрим стационарный случайный процесс x(t), односторонний спектр мощности которого концентрируется в окрестности некоторой частоты>0. По теореме Винера-Хинчина функция корреляции данного процесса
(7.4)
Мысленно сместим спектр процесса из окрестности частоты в окрестность нулевой частоты, выполнив замену переменной. Тогда формула (7.4) приобретает вид:
(7.5)
В соответствии с исходным предположением об узкополосности процесса X(t) его спектр мощности исчезающе мал на частотах, близких к нулю. Поэтому в выражении (7.5) можно заменить нижний предел интегрирования на, не внося ощутимой погрешности, и записать функцию корреляции в виде
(7.6)
Особенно простой функция корреляции узкополосного процесса получается в случае, когда спектр мощности симметричен относительно центральной частоты. При этом, так что
(7.7)
Здесь коэффициент играет роль огибающей, которая изменяется медленно по сравнению с множителем. Часто бывает удобным ввести нормированную огибающуюфункции корреляции узкополосного случайного процесса, определив её с помощью равенства.
Тогда (7.8)
Характерный вид функции корреляции (7.8) свидетельствует о том, что отдельные реализации узкополосного случайного процесса представляют собой квазигармонические колебания:
, (7.9)
у которых как огибающая U(t), так и начальная фаза являются случайными функциями, медленно (в масштабе) изменяющимися во времени.
Представим реализацию (7.9) как сумму синфазной и квадратурной составляющих.
(7.10)
Предположение о медленности синфазной A(t) и квадратурной B(t) амплитуд позволяет весьма просто записать выражение для реализации сопряжённого процесса, вынеся медленные множители за знак преобразования Гильберта:
(7.11)
Отсюда получаем формулы для мгновенных значений реализации огибающей
(7.12)
и начальной фазы
(7.13)
Часто на практике ставится задача нахождения совместной плотности вероятности огибающей и начальной фазы узкополосного случайного процесса. При этом особенно удобно воспользоваться методом, основанном на переходе от узкополосного случайного процесса к его синфазной и квадратурной составляющим. Благодаря этому методу мы можем вычислить двумерную плотность вероятности . Эта характеристика позволяет найти одномерную плотность вероятности огибающей:
(7.14)
И плотность вероятности начальной фазы
(7.15)
Мгновенные значения амплитуды A(t) и B(t) образуют двумерный гауссов вектор, обе составляющие которого независимы и имеют одинаковые дисперсии . Поэтому двумерная плотность вероятности.
(7.16)
Теперь, чтобы получить искомую плотность вероятности следует выполнить функциональное преобразование, переводящее случайный вектор {A,B} в новую случайную совокупность ,
(7.17)
Якобиан такого преобразования
(7.18)
Поскольку в новых переменных , искомая двумерная плотность вероятности:
(7.19)
Теперь, используя формулы (7.15) и (7.19) можем найти плотность вероятности начальной фазы:
Введём замену переменной
Тогда:
(7.20)
Таким образом, начальная фаза узкополосного случайного процесса распределена равномерно на отрезке
На основании формул (7.14) и (7.19) определим одномерную плотность вероятности огибающей
(7.21)
Здесь так же целесообразно перейти к безразмерной переменной , относительно которой
. (7.22)
Плотность вероятности мгновенных значений огибающей узкополосного случайного процесса, устанавливаемая выражением (7.21), (7.22) известна под названием закона Рэлея. Соответствующий график показывает, что наиболее вероятны некоторые средние (порядка ) значения огибающей. В то же время маловероятно, чтобы огибающая принимала значения как близкие к нулю, так и значительно превосходящие среднеквадратичный уровеньузкополосного процесса.
Проводя усреднение с помощью плотности вероятности (7.22) находим среднее значение огибающей и её дисперсию:
(7.23)
(7.24)
Располагая одномерной плотностью вероятности огибающей, можно решить ряд задач теории узкополосных случайных процессов, в частности, найти вероятность превышения огибающей некоторого заданного уровня.
Случайные величины, распределенные по закону Рэлея, встречаются во многих задачах. Исследуем огибающую суммы гармонического сигнала и узкополосного нормального шума. Часто бывает необходимо определить статистические свойства сигнала, наблюдаемого на выходе некоторого частотно-избирательного устройства, например, резонансного усилителя.
Будем считать, что помимо флуктуационного гауссова шума с центральной частотой , равной резонансной частоте усилителя, на выходе присутствует также детерминированный гармонический сигналс известной амплитудой.
Простейшей задачей является нахождение одномерной плотности вероятности огибающей суммарного колебания. Считая, что полезный сигнал , в то время как шум, запишем выражение реализации суммарного процессаX(t) . Данный случайный процесс узкополосен, поэтому его реализация может быть выражена посредством медленно меняющихся огибающейU(t) и начальной фазы :
. Очевидно, между парами имеется связь:
(7.25)
Легко проверить, что якобиан D этого преобразования равен U. Тогда, поскольку двумерная плотность вероятности:
В новых переменных имеем.
(7.26)
Теперь чтобы получить одномерную плотность вероятности огибающей, следует проинтегрировать правую часть формулы (7.26) по угловой координате в результате чего находим:
(7.27)
Данная формула выражает закон, получивший название закона Райса. Отметим, что при , т.е. в отсутствие детерминированного сигнала, закон Райса переходит в закон Рэлея.
На рисунке представлены графики плотности вероятности случайной величины, распределённой по закону Райса при различных отношениях
Отметим, что если амплитуда детерминированного сигнала значительно превышает среднеквадратический уровень шума, т.е. >>1 то при можно воспользоваться асимптотическим представлением модифицированных функций Бесселя с большим аргументом:
Подставив это выражение в (7.27), имеем
(7.28)
Т.е. огибающая результирующего сигнала распределена в этом случае приближённо нормально с дисперсией и математическим ожиданием. Практически считают, что уже приогибающая результирующего сигнала нормализуется.