![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Учреждение образования «Высший государственный колледж связи»
- •Теория электросвязи
- •Раздел 1. Основы анализа сигналов.
- •1.1. Основные элементы функционального анализа сигналов. Норма и метрика.
- •1.2 Ортогональные сигналы. Ортонормированный базис. Обобщенный ряд Фурье
- •Раздел 2. Основы спектрального анализа сигналов
- •2.1 Теоремы о спектрах
- •2.3. Спектры модулированных сигналов.
- •2.3.1 Спектры амплитудно модулированных сигналов
- •2.3.2 Спектр сигналов с угловой модуляцией
- •Раздел 3. Аналитический сигнал и преобразования Гильберта
- •3.1 Аналитический сигнал. Основные понятия и определения. Спектр аналитического сигнала.
- •3.2 Преобразования Гильберта и его свойства. Применение пре образования Гильберта.
- •Раздел 4. Основы корреляционного анализа сигналов
- •4.1. Автокорреляционная функция сигналов
- •4.2. Взаимокорреляционная функция двух сигналов
- •Раздел 5. Основные элементы цифровой обработки сигналов
- •5.1. Дискретное преобразование Фурье
- •5.2. Быстрое преобразование Фурье
- •Раздел 6. Математические модели приема сигналов на фоне помех
- •6.1. Стационарные и эргодические случайные процессы.
- •6.2. Спектральное представление стационарных случайных процессов. Теорема Винера-Хинчина
- •Раздел 7. Математические модели приема сигналов на фоне помех (окончание)
- •7.1 Типовые модели случайных сигналов
- •7.2 Узкополосные случайные сигналы
- •Раздел 8. Основные сведения о шумоподобных сигналах
- •8.1 Шумоподобные сигналы и их свойства. Применение шумоподобных сигналов.
- •Раздел 9. Основы теории разделения сигналов
- •9.1 Основные положения линейной теории сигналов.
- •9.2 Структурная схема системы многоканальной передачи информации.
- •Раздел 10. Основные положения теории передачи информации
- •10.1 Информационные характеристики дискретных сообщений и сигналов
- •10.2 Взаимная информация
- •10.3. Информация в непрерывных сигналах. Дифференциальная энтропия.
- •10.4. Пропускная способность канала связи
- •10.5. Информация в непрерывных сообщениях. Эпсилон-энтропия
- •Раздел 11. Принципы оптимальной обработки сигналов на фоне помех
- •11.1. Задача оптимального приёма дискретных сообщений
- •11.2. Элементы теории решений
- •11.3. Критерии оптимизации приёма дискретных сообщений
- •11.4 Алгоритм оптимального приёма при полностью известных сигналах. (Когерентный приём)
- •Раздел 12. Принципы оптимальной обработки сигналов на фоне помех (продолжение)
- •16.5 Реализация алгоритма оптимального приема на основе корреляторов
- •12.2 Реализация алгоритма оптимального приёма на основе согласованных фильтров. Свойства согласованного фильтра
- •12.3 Потенциальная помехоустойчивость систем с различными видами манипуляции
- •Раздел 13. Принципы оптимальной обработки сигналов на фоне помех (окончание)
- •13.1 Оптимальный прием дискретных сообщений с неопределенной фазой (Некогерентный прием).
- •13.2 Помехоустойчивость систем с различными видами дискретной модуляции при некогерентном приеме
- •13.3 Прием дискретных сообщений в каналах с замираниями
- •Раздел 14. Основы цифровой обработки сигналов
- •14.1 Основные принципы цифровой фильтрации. Характеристики и свойства цифровых фильтров.
- •14.2 Алгоритм линейной цифровой фильтрации.
- •Тема 15. Основы цифровой обработки сигналов (окончание)
- •15.1 Трансверсальные цифровые фильтры.
- •15.2 Рекурсивные цф. Устойчивость цифровых фильтров
- •Раздел 16. Введение в вейвлет-преобразования сигналов
- •16.1 Понятие вейвлет-преобразования. Основные вейвлеты, применяемые в системах связи.
- •16.2 Дискретный вейвлет-анализ.
- •16.3 Непрерывное вейвлет-преобразование
- •Содержание.
11.3. Критерии оптимизации приёма дискретных сообщений
I.Критерий идеального наблюдателя, или критерий Котельникова
Это критерий, по которому качество приёмника оценивают безусловной вероятностью правильного приёма сигнала.
Пусть на вход
приёмника в течение тактового интервала
0-Т приходит некоторый элемент сигнала
Z(t).
Предположим, что приёмник принимает
при этом решение, что передан символ
.
Вероятность того, это решение правильно,
очевидно, равна условной вероятности
того, что действительно передавался
символ
при условии прихода реализации элемента
сигналаZ(t),
.
Её называют обычно апостериорной
вероятностью символа
(то есть вероятностью, определённой
после опыта, заключающегося в наблюдении
и анализе сигналаZ(t).)
Очевидно, что
вероятность правильного приёма будет
максимальной в такой решающей схеме,
для которой апостериорная вероятность
максимальна. Другими словами, критерий
идеального наблюдателя обеспечивается
решающей схемой, построенной по правилу
максимума апостериорной вероятности
– решение о
принимается в том случае, если выполняется
система изm-1
неравенств:
(11.3)
Согласно известной
формуле Бейеса для
:
(11.4)
где
–n-мерная
плотность вероятности вектора Z,
– априорная вероятность передачи
символа
(то есть та вероятность, которая имеет
место до наблюдения и анализа, определяемая
статистикой источника сообщения и
правилом кодирования).
Подставив (11.4) в
(11.3) и учитывая, что
– безусловная плотность вероятности,
не являющаяся функциейi,
можно записать правила решения для
идеального наблюдателя в следующей
форме:
, (11.5)
где
– функция правдоподобияi-той
гипотезы
Для построения
решающей схемы по правилу (11.5) необходимо
знать априорные вероятности символов
,
определяемые источником, а также свойства
модулятора и канала, определяющие
условные плотности вероятности.
– функции правдоподобия.
Недостатком критерия максимума апостериорной вероятности является тот факт, что он обеспечивает большую вероятность правильного приёма за счёт сокращения области маловероятных и расширения области приёма высоковероятных символов; в результате редко передаваемые символы передавались бы менее надёжно, а они несут больше информации.
II.
Правило (11.5) можно записать иначе -
решение о том, что передавался символ
,
должно приниматься, если для всех
выполняетсяm-1
неравенств:
(11.6)
Отношение в левой
части этого неравенства называется
отношением правдоподобия двух гипотез
о том, что передавался символ
.
Его обозначают
.
Для двоичной системы правило сводится к проверке
(11.7)
Во многих случаях различные ошибки приводят к различным последствиям.
III.
Учёт последствий ошибок различного
рода (связанных с передачей различных
символов приводит к обобщению критерия
идеального наблюдателя, известного под
названием критерия минимального среднего
риска (или байесовского критерия). Если
при передаче символа
принят символ
,
то при
имеет место ошибка.
Чтобы учесть
неравноценность различных ошибок, будем
с каждой парой символов
и
связывать некоторую численную величину,
называемую «потерей», обозначив еёLij.
Величина «потери» зависит от того какой
символ
принят вместо переданного
.
Правильному приёму при этом приписывается
нулевая потеря.
Так как при передаче
символа
символ
появляется с определёнными вероятностями
как реализации некоторой дискретной
случайной величины, можно говорить об
условном математическом ожидании
величины «потери» при передаче конкретного
символа
.
Назовём это условное математическое
ожидание условным риском:
(11.8)
Интервал берётся
по области
решающей схемы и представляет вероятность
того, что сигналZ(t)
попал в эту область, если передавался
символ
.
Усреднив условный риск
по всем символам
,
получим величину, называемую средним
риском:
(11.9)
Критерий минимального
среднего риска заключается в том, что
оптимальной считается решающая схема,
обеспечивающая наименьшее значение
среднего риска
.
Приёмник, работающий по такому критерию
называется байесовским. Из (11.9) видно,
что при использовании этого критерия
нужно помимо априорных вероятностей
передачи отдельных символов знать и
величины потерьLij.
Заметим, что если считать все ошибки
равноценными (
),
то критерий минимального среднего риска
совпадает с критерием идеального
наблюдателя, а байесовский приёмник
совпадает с идеальным приёмником
Котельникова.
IV Ситуация, в которой практически невозможно определить априорную вероятность передачи отдельных элементарных сообщений, а последствия ошибок разного рода неодинаковы, особенно типична для радиолокации, когда приёмник, анализируя принимаемое колебание Z(t) (отражённый сигнал плюс помеха), должен определить, имеется в данном направлении и на данном расстоянии объект наблюдения (цель) или нет. Последствия двух родов ошибок ложной тревоги и пропуска цели – неравноценны.
В этой и других
сходных ситуациях чаще всего пользуются
критерием приёма, известным под названием
критерия Неймана Пирсона. Суть его
заключается в том, что решающая схема
считается оптимальной, если при заданной
вероятности ложной тревоги
обеспечивается минимальная вероятность
пропуска цели
.
Введём в рассмотрение функции правдоподобия гипотезы об отсутствии цели w(Z/0) и о наличии цели w(Z/1).
Минимизация
при заданной величине
достигается, если решение о наличии
цели принимается при выполнении
неравенства.
(11.10)
Где
– пороговый уровень, определяемый
заданной вероятностью ложной тревоги
В технике связи
преимущественно применяют правило
максимального правдоподобия. В том
случае, когда все символы передаются
равновероятно, правило максимального
правдоподобия переходит в критерий
идеального наблюдателя. Часто это
правило решения применяют и при
неизвестных или известных но не одинаковых
априорных вероятностях символов. Правило
максимального правдоподобия переходит
в критерий минимума среднего риска,
если положить
.
Существуют так же и другие критерии, например, критерий взвешенной вероятности ошибки, минимаксный критерий, при котором коэффициент потерь считается заданным и другие.
Выбор того или иного варианта критерия оптимальности называют стратегией. Стратегия определяется исходными данными при проектировании. Наиболее простая стратегия соответствует критерию максимального правдоподобия. Рассматриваемые задачи в статистической теории связи классифицируются как задачи распознавания и задачи обнаружения сигнала. Например, при амплитудной телеграфии (АТ) – передача с «пассивной паузой» - приёмное устройство выполняет функции обнаружителя. (Термин «обнаружение» первоначально возник в радиолокации). В случае частотной или фазовой телеграфии (ЧТ или ФТ) приёмное устройство работает по принципу распознавания.