Тема 6. Сетевые модели задач динамического программирования. Нахождение кратчайшего маршрута.

6.1 Основные понятия сетевых моделей

Граф - это совокупность множества узловых точек X (узлов или вершин) и множества соединяющих их дуг А. Формально граф обозначается G=(X, А). Обычно вершинам приписывают номера – 1, 2,..., n, а дуги изображают прямыми или кривыми линиями, каждая из которых соединяет ровно две вершины, и обозначают (i, j). Где i, j - вершины, определяющие начало и конец дуги. На рис. 6.1. вершины графа – это кружки с номерами 1, 2, 3, 4, 5. Дуги этого графа: (1, 2), (1, 4), (5, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 5).

Сеть – это граф, каждой дуге которого поставлено в соответствие одно или несколько чисел (весов).

Если нет необходимости различать начало и конец дуги, дуга является неориентированной и называется ребром. Граф, в котором ни одна из дуг не имеет ориентации, называется неориентированным (и ориентированным в противном случае). Граф на рис. 6.1 – ориентированный.

Рис. 6.1 Пример ориентированного графа.

Вершины в графе называются смежными, если они различны и существует дуга, соединяющая эти вершины. Две дуги называются смежными, если они имеют общую концевую вершину. Последовательность дуг, соединяющая вершины i и j без учета их ориентации называется путем. Граф называется связным, если существует по крайней мере один путь между любой парой его вершин. Конечный путь, начальная и конечная вершины которого совпадают, называется циклом. Если все дуги пути, связывающего узлы i и j, ориентированы так, что действительно можно пройти по этому пути из i и j, то такой путь часто называют ориентированной цепью. Например, на рис. 6.1. путь из 1 в 5, проходящий через узлы 1, 2, 3, 5, есть ориентированная цепь. Замкнутая цепь называется ориентированным циклом или контуром. Например, на рис. 5.1 контуром является ориентированная цепь, соединяющая вершины 1, 2, 5, 1. Сеть, не имеющая циклов (контуров), называется ациклической (бесконтурной).

Важным частным случаем сети является связная сеть, содержащая n узлов и n-1 дугу. Сеть такой структуры не содержит циклов и называется деревом (рис. 6.2). Для любых двух вершин дерева существует единственный путь, соединяющий их.

Рис. 6.2 Пример дерева.

6.2 Матричный способ задания сетей

Матричное представление структуры сети дает более удобный способ описания, чем графическое, особенно при большом числе вершин и дуг. Взаимосвязь между вершинами сети можно определить при помощи матрицы смежности вершин графа. Это квадратная матрица n-го порядка, строки и столбцы которой соответствуют вершинам графа. Элементы матрицы равны 1, если существует дуга(i, j) и 0 – в противном случае. Например, матрицы смежности вершин графа, изображенного на рис. 6. 1 имеет вид

№ вершины	1	2	3	4	5
1	0	1	0	1	0
2	0	0	1	0	1
3	0	0	0	0	1
4	0	0	0	0	0
5	1	0	0	0	0

Для неориентированной сети матрица является симметричной. Количественные характеристики дуг сети. а также взаимосвязь между ее вершинами могут быть представлены с помощью матрицы весовых коэффициентов, которая задается массивом (– количественный параметр, обычно называемый длиной дуги (i, j), ). Для неориентированной сети матрица является симметричной.