Тема 4. Элементы теории матричных игр

4.1 Парные матричные игры с нулевой суммой

Теория игр занимается разработкой различного рода рекомендаций по принятию решений в условиях конфликтной ситуации.

Игрой называют упрощенную модель конфликтной ситуации. Игра ведется по определенным правилам. Суть игры в том, что каждый из ее участников принимает такие решения, которые, как он полагает, могут обеспечить ему наилучший результат (исход). Исход игры — это значе­ние некоторой функции, называемой функцией выигрыша (платежной функцией). Если сумма выигрышей игроков равна нулю, то игру назы­вают игрой с нулевой суммой. Если в игре участвуют два игрока, то ее называют парной.

Пусть игроки А и В располагают конечным числом возможных действий — чистых стратегий. Обозначим их соответственно и . Игрок А может выбрать любую чистую стратегию , в ответ на которую игрокВ может выбрать любую свою чистую стратегию . Если игра состоит только из личныхходов, то выбор пары стратегий однозначно определяет резуль­тат — выигрыш игрокаА или проигрыш игрока В. Если известны значения выигрыша для каждой пары чистых стратегий, то можно составить матрицу выигрышей игрокаА (проигрышей игрока В) (табл. 4.1). Эту матрицу называют также платежной.

В табл. 4.1 приведены числа — минимально возможный выигрыш игрока А, применяющего стратегию и — максимально возможный проигрыш игрока В, если он пользуется стратегией .

Таблица 4.1

	…
…	… … … … …	…
	…

Число называют нижней чистой ценой игры (максимином), а соответствующую ему чистую стратегию — максиминной. Число называют верхней чистой ценой игры (минимаксом), а соответствующую чистую стратегию — мини­максной. Ясно, что максимин не превосходит минимакса, т. е. .

Если , то говорят, что игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры. Пару чистых стратегий , соответствующих и, называютседловой точкой матричной игры, а элемент , платежной матрицы, стоящий на пересечении -ой строки и-го столбца, —седловым элементом платежной матрицы. Он одновременно является минимальным в своей строке и максималь­ным в своем столбце, т. е. . Стратегии и , образую­щие седловую точку, являются оптимальными. Тройку называют решением игры.

Пример. Каждый из игроков А и В записывает одно из чисел 1, 4, 6 или 9, затем они одновременно показывают написанное. Если оба числа оказались оди­наковой четности, то игрок А выигрывает столько очков, какова сумма этих чисел, если разной четности — вы­игрывает игрок В. Составить платежную матрицу, найти нижнюю и верхнюю чистые цены игры, максиминную и минимаксную стратегии игроков.

Решение. Чистыми стратегиями игрока А будут: — записать число 1, — число 4, — число 6, — число 9. У игрока В чистыми будут аналогичные страте­гии (табл. 4.2).

Таблица 4.2

	(1)	(4)	(6)	(9)
(1) (4) (6) (9)	2	–5	–7	10	–7
	–5	8	10	–13	–13
	–7	10	12	–15	–15
	10	–13	–15	18	–15
	10	10	12	18

Элемент =2, так как в ситуации оба игрока записывают нечетное число 1 и выигрыш игрока А равен 1+1=2. Элемент = –5, так как в ситуации игрок А записывает число 1, а игрок В — число 4, т. е. числа разной четности, поэтому выигрыш игрока В равен 5, тогда как выигрыш игрока А составит –5. Ана­логичным образом вычисляются остальные элементы платежной матрицы. После определения и замечаем, что нижняя чистая цена игры не равна верхней чистой цене игры , поэтому данная игра не имеет седловой точки. Максиминной для игрокаА будет чистая стратегия . Пользуясь ею, игрокА «выиграет» не менее –7 (проиграет не более 7). Минимаксными для игрока В будут чистые стратегии и, при которых он проиграет не более 10.