3.1.3. Полустепени диграфа

Если {u,v} – дуга диграфа, то говорят, что вершинаuявляетсявходящим соседомвершиныv. Симметрично, вершинаvназываетсяисходящим соседомвершиныu. Множество входящих соседей вершиныuобозначается Г^-_G(u)= {vV(G):{u,v}A(G)}, а множество исходящих соседей – Г⁺_G(u)= {vV(G):{u,v}A(G)}.

Полустепень исходавершиныu (обозначаетсяdeg⁺(u)) диграфаDравна |Г⁺_G(u)| (т.е. количеству дуг, инцидентных от вершиныu), аполустепень заходавершиныu (обозначаетсяdeg^-(u)) равна | Г^-_G(u)| (т.е. количеству дуг, инцидентных к вершинеu).

Степенью вершины vдиграфаDявляется сумма полустепеней захода и исхода вершины:deg(v) =deg⁺(v) +deg^-(v).

Истоком называется вершина s со степенью захода deg^-(s)=0, астоком – вершина t со степенью исхода deg^-(t)=0.

Вершины	deg+(Vi)	deg-(Vi)	deg(Vi)
V1	2	2	4
V2	1	2	3
V3	2	0	2
V4	1	2	3
V5	2	1	3
V6	1	2	3
V7	1	1	2

Рис.3.1.5. Орграф D(V,А) и его полустепени исхода и захода

• Полустепень исходавершиныdeg⁺(V_i).

• Полустепень заходавершиныdeg^-(V_i).

• Степень вершиныdeg(V_i).

• Максимальная и минимальная полустепени исходадиграфа – Δ⁺(D)={max{deg⁺(V_i) |V_iV} и δ⁺(D)={min{deg⁺(V_i) |V_iV}.

• Максимальная и минимальная полустепени захода диграфа –

Δ^-(D)={max{deg^-(V_i) |V_iV} и δ^-(D)={min{deg^-(V_i) |V_iV}.

Cумма полустепеней исхода и сумма полустепеней захода вершин диграфа равна числу дуг:

⁺(v_i) =^-(v_i) =m;n=│V│;m=│А│.

3.1.4. Последовательности полустепеней диграфа

Последовательность степеней исходаипоследовательность степеней заходадиграфаDявляются последовательности всех полустепеней исхода и полустепеней захода, записанные в порядке возрастания и с возможными повторами.

3.1.5. Матричный способ задания диграфов

Матрица инцидентций

Матрица инцидентностидиграфа [В] является прямоугольной матрицейmxn, гдеn-число вершин,m-число дуг диграфа, элементы которой равны:

Матрица смежности

Матрица смежностидиграфа [А] является квадратной матрицейnxn,n=│V│, элементы которой равны:

Матрица Лапласа

Матрица Лапласа (Киргоффа) с использованием полустепеней захода является квадратной матрицейnxn,n=│V│и имеет вид:

Матрица Лапласа (Киргоффа) с использованием полустепеней исхода является квадратной матрицейnxn,n=│V│и имеет вид:

В матричном виде:

[L⁺]=[D⁺] – [A],

[L^-]=[D^-] – [A],

где [D⁺] и [D^-] – диагональные матрицы полустепеней захода и исхода,

[A] – матрица смежности,

Пример

3.1.6. Таблица инцидентности

Строка таблицы инцидентностисодержит вершинуvс перечислением всех тех вершин диграфа, дуги которых содержат в качестве источника вершинуv.

3.2. Операции над диграфами

3.2.1. Простейшие операции

Простейшими операциями над диграфами являются:

• Добавление вершины: D+V_n+1;

• Удаление вершины: D-V_i( вершина удаляется вместе с инцидентными к ней и от нее дугами);

• Добавление дуги: D+{V_i,V_j};

• Удаление дуги: D-{V_i,V_j};

• Изменение направления дуги: {V_i,Vj}{V_j,V_i};

• Замена дуги на ребро.