Глава 3. НАПРАВЛЕННЫЕ ГРАФЫ

3.1. Способы задания направленного графа

Основные способы определения направленных графов:

• графический;

• с помощью множеств;

• последовательность полустепеней;

• матричный;

• таблицы инцидентности.

3.1.1. Графический способ задания

направленного графа

Направленный граф изображается на плоскости некоторым количеством точек (кружков) и каким-то числом направленный отрезков, кривых или прямых линий соединяющих эти точки. Кружки называются вершинами, а направленные линии (линии со стрелками) – дугами. У дуги различают хвост (конец линии без стрелки) и голову (конец линии со стрелкой).

Определения

Дуга, соединяющая вершину саму с собой, называется петлей.

Несколько дуг, соединяющих две вершины и имеющие совпадающие хвосты и головы, являются кратными или параллельными дугами.

Контрнаправленными дугами будут дуги, соединяющие две вершины, но имеющие противоположное направление.

В зависимости от наличия или отсутствия петель, кратных и контрнаправленных дуг различают следующие типы направленных графов:

Тип	Наличие
	петель	кратных дуг	контрнаправленных дуг
Направленный граф(диграф) Ориентированный граф (орграф) Направленный мультиграф Направленный псевдограф Направленный пседомультиграф	Нет Нет Нет Да	Нет Нет Да Нет Да		Да Нет Да Да Да

1. Дуги направленного графа показывают не только связь между двумя вершинами, или ее отсутствие, но и направление этой связи (например, направление передачи информации, сигналов, товаров, топлива, грузов и т.д.).

2. Направленные графы будут называться диграфами (от английского directed graphs), а ориентированные графы – орграфами (oriented graphs).

3. Далее простые направленные графы и ориентированные графы будут называться общим именем «диграфы». Только в особо оговариваемых случаях будет использоваться название «орграф».

Пример

c)

Рис.3.1.1. Типы направленных графов: a) простой направленный граф (диграф); b) ориенитрованный граф (орграф); с) направленный мультиграф; d)направленный пседограф; e)направленный псевдомультиграф

3.1.2. Задание диграфов с помощью множеств

Определения

Диграфом D(V,A) является:

• конечное непустое множество V вершин;

• конечное множество А дуг, задаваемое функцией декартового произведения вершин V V ( т.е. у диграфа {v_i,v_j}≠{v_j,v_i}. Если имеется дуга е={v_i, v_j}, то говорят, что дуга направлена из вершины v_i в вершину v_j.)

Диграф D=(V,A) называется пустым, если |V|=0, |A|=0. Тривиальный диграф – это диграф D=(V,A) с |V| 0 и |A|=0.

Две вершины, соединенные дугой любого направления, являются смежными.

Говорят, что:

• вершина v инцидентна к дуге {v,u}, если голова дуги соединена с вершиной v;

• вершина v инцидентна от дуги {v,u}, если хвост дуги соединен с вершиной v;

• дуга {v,u} инцидентна к вершине v, если голова дуги соединена с вершиной v;

• дуга {v,u} инцидентна от вершины v, если хвост дуги соединен с вершиной v.

Рис.3.1.3. Смежные вершины, инцидентные вершины и дуги диграфа

• |D| - порядок диграфа: число вершин диграфа D;

• ||D||-размер диграфа: число дуг диграфа.

Диграф будет конечным или бесконечным в зависимости от величины порядка диграфа |D|.

3 .1.3. Полустепени диграфа

Если {u,v} – дуга диграфа, то говорят, что вершина u является входящим соседом вершины v. Симметрично, вершина v называется исходящим соседом вершины u. Множество входящих соседей вершины u обозначается Г^-_G(u)= {v V(G):{u,v} A(G)}, а множество исходящих соседей – Г⁺_G(u)= {v V(G):{u,v} A(G)}.

Полустепень исхода вершины u (обозначается deg⁺(u)) диграфа D равна |Г⁺_G(u)| (т.е. количеству дуг, инцидентных от вершины u), а полустепень захода вершины u (обозначается deg^-(u)) равна | Г^-_G(u)| (т.е. количеству дуг, инцидентных к вершине u).

Степенью вершины v диграфа D является сумма полустепеней захода и исхода вершины: deg(v) = deg⁺(v) + deg^-(v).

Истоком называется вершина s со степенью захода deg^-(s)=0, а стоком – вершина t со степенью исхода deg^-(t)=0.

Вершины	deg+(Vi)	deg-(Vi)	deg(Vi)
V1	2	2	4
V2	1	2	3
V3	2	0	2
V4	1	2	3
V5	2	1	3
V6	1	2	3
V7	1	1	2

Рис.3.1.5. Орграф D(V,А) и его полустепени исхода и захода

• Полустепень исхода вершины deg⁺(V_i).

• Полустепень захода вершины deg^-(V_i).

• Степень вершины deg(V_i).

• Максимальная и минимальная полустепени исхода диграфа – Δ⁺(D)={max{deg⁺(V_i) | V_i V} и δ⁺(D)={min{deg⁺(V_i) | V_i V}.

• Максимальная и минимальная полустепени захода диграфа –

Δ^-(D)={max{deg^-(V_i) | V_i V} и δ^-(D)={min{deg^-(V_i) | V_i V}.

Cумма полустепеней исхода и сумма полустепеней захода вершин диграфа равна числу дуг:

⁺(v_i) = ^-(v_i) = m; n=│V│; m=│А│.

3.1.4. Последовательности полустепеней диграфа

Последовательность степеней исхода и последовательность степеней захода диграфа D являются последовательности всех полустепеней исхода и полустепеней захода, записанные в порядке возрастания и с возможными повторами.

3.1.5. Матричный способ задания диграфов

Матрица инцидентций

Матрица инцидентности диграфа [В] является прямоугольной матрицей mxn, где n-число вершин, m-число дуг диграфа, элементы которой равны:

Матрица смежности

Матрица смежности диграфа [А] является квадратной матрицей nxn, n=│V│, элементы которой равны:

Матрица Лапласа

М атрица Лапласа (Киргоффа) с использованием полустепеней захода является квадратной матрицей nxn, n=│V│и имеет вид:

М атрица Лапласа (Киргоффа) с использованием полустепеней исхода является квадратной матрицей nxn, n=│V│и имеет вид:

В матричном виде:

[L⁺]=[D⁺] – [A],

[L^-]=[D^-] – [A],

где [D⁺] и [D^-] – диагональные матрицы полустепеней захода и исхода,

[A] – матрица смежности,

Пример

3.1.6. Таблица инцидентности

Строка таблицы инцидентности содержит вершину v с перечислением всех тех вершин диграфа, дуги которых содержат в качестве источника вершину v.

3.2. Операции над диграфами

3 .2.1. Простейшие операции

Простейшими операциями над диграфами являются:

• Добавление вершины: D+V_n+1;

• Удаление вершины: D-V_i ( вершина удаляется вместе с инцидентными к ней и от нее дугами);

• Добавление дуги: D+{V_i,V_j};

• Удаление дуги: D-{V_i,V_j};

• Изменение направления дуги: {V_i,Vj}{V_j,V_i};

• Замена дуги на ребро.