Градиент функции

В каждой точке области D, в которой задана функция, определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке:

Этот вектор называется градиентом функции . Говорят, что в областиDопределено векторное поле градиентов. Докажем следующую теорему, устанавливающую связь между градиентом и производной по направлению.

Теорема.Пусть дано скалярное полеи определено в этом скалярном поле поле градиентов.

Тогда производная по направлению некоторого вектораравняется проекции векторана вектор.

Доказательство.Рассмотрим единичный вектор, соответствующий вектору:

Вычислим скалярное произведение векторов и:

Выражение, стоящее в правой части этого равенства, есть производная от функции по направлению вектора. Следовательно, справедливо

Если обозначим угол между векторами ичерез, то можем написать:

или.

Теорема доказана.

На основании доказанной теоремы наглядно устанавливается связь между градиентом и производной в данной точке по любому направлению. Установим некоторые свойства градиента:

1) Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление векторасовпадает с направлением градиента; это наибольшее значение производной равно.