Поверхности (линии) уровня

Пусть в трехмерном пространстве имеется область D, в которой задана функция

.

В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле.

Если, например, функция обозначает температуру в точке , то говорят, что задано скалярное поле температур; если область D заполнена жидкостью или газом и обозначает давление, то имеется скалярное поле давлений и т. д.

Рассмотрим точки области D, в которых функция имеет постоянное значение :

.

Совокупность этих точек образует некоторую поверхность. Если возьмем другое значение , то получим другую поверхность. Эти поверхности называются поверхностями уровня.

Пример. Пусть задано скалярное поле

.

Здесь поверхностями уровня будут поверхности

,

т. е. эллипсоиды с полуосями , , .

Если функция есть функция двух переменных и :

,

то «поверхностями» уровня будут линии на плоскости :

,

которые называются линиями уровня.

Если значения мы будем откладывать по оси , то линиями уровня на плоскости будут проекции линий, которые получаются в пересечении поверхности с плоскостями . Зная линии уровня, легко исследовать характер поверхности .

Пример. Определить линии уровня функции .

Решение. Линиями уровня будут линии с уравнениями . Это окружности радиуса . В частности, при получаем окружность . График данной функции, а также получаемые линии уровня изображены на рисунке.

Предел функции нескольких переменных

Приведем определение предела функции двух переменных по Коши.

Определение. Число А называется пределом функции при , т.е. в точке , если для любого существует , такое, что при всех , удовлетворяющих условиям   и   , выполняется неравенство  — А .

Данное определение в символьном виде можно записать так:

Для обозначения предела функции в точке используют и другую форму записи:

.

Замечание. При определении предела функции в точке полагают, что функция может быть и не определена в самой точке .

Пример. Доказать, пользуясь определением предела по Коши, что .

Решение. Область определения данной функции D . Выберем произвольное число и найдем , такое, что для любой точки , для которой справедливо , выполняется неравенство . Так как для любой точки D справедливо соотношение

,

то

.

Оценим :

.

Таким образом,

,

где — расстояние от точки до точки .

Следовательно, для любого мы нашли число , такое, что для любой точки , принадлежащей -окрестности точки , т.е. при , будет выполняться неравенство

.

Что и требовалось доказать.

Приведенные выше определения предела функции двух переменных без труда обобщаются на случай функций трех и более переменных. Обобщим, например, определение предела по Коши на случай функции независимых переменных.

Определение. Число А называется пределом функции при ,т.е. в точке , если для любого существует , такое, что при всех , удовлетворяющих условиям   ,   ,…,   , выполняется неравенство  — А .

Пользуясь понятием предела функции, можно дать определение бесконечно малой функции при ( ), вывести основные свойства бесконечно малых функций, сравнить бесконечно малые функции, доказать теорему о том, что разность между функцией, имеющей предел, и ее пределом есть бесконечно малая функция, сформулировать основные теоремы об арифметических операциях над пределами. Все эти теоремы для случая были рассмотрены при изучении функций одной переменной.