![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Учреждение образования
- •Содержание
- •Поверхности (линии) уровня
- •Предел функции нескольких переменных
- •Непрерывность функций нескольких переменных
- •Дифференцирование функций нескольких переменных
- •Дифференцируемость функций нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости
- •Полный дифференциал функции нескольких переменных
- •Дифференцирование сложной функции
- •Дифференцирование функции, заданной неявно
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Локальные экстремумы функции двух переменных
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Производная по направлению
- •Градиент функции
Непрерывность функций нескольких переменных
Понятие непрерывности функции нескольких переменных можно определить с помощью предела.
Определение.Функцияназывается непрерывной в точке
,
если выполнены следующие три условия:
1)
определена в точке
и некоторой ее окрестности;
2) существует
;
3)
=
.
Если в точке
одно из указанных трех условий не
выполняется, то она является точкой
разрыва функции
.
Для функции
двух независимых переменных точки
разрыва могут быть изолированными или
образовывать линию разрыва. Для функции
трех независимых переменных точки
разрыва могут быть изолированными,
образовывать линию или поверхность
разрыва.
Определение.Функцияназывается непрерывной на множестве
D, если она непрерывна в каждой точке
этого множества.
Пример.Найти точки разрыва функции
.
Решение.Данная функция определена
на R2всюду, кроме точки,
которая и является точкой разрыва
функции.
Пример.Найти точки разрыва функции
.
Решение.Данная функция определена
для любых,
таких, что
.
Следовательно, прямая
является линией разрыва функции.
Пример.Найти точки разрыва функции
.
Решение.Функция
определена для любых
,
таких, что
.
Следовательно, сфера с центром в
начале координат и радиусомR=3
является поверхностью разрыва функции.
Дифференцирование функций нескольких переменных
Частные и полные приращения функции
Пусть
— функция двух независимых переменных
и D
—
область ее определения. Выберем
произвольную точку
D
и дадим
приращение
,
а значение
оставим неизменным. При этом функция
получит приращение
,
которое называется частным приращением
функции
по переменной
в точке
.
Аналогично, считая
постоянной и придавая
приращение
,
получаем частное приращение функции
по переменной
в точке
:
.
Полным приращением функции
в точке
называют разность
.
Замечание.В общем случае полное
приращение не равно сумме частных
приращений, т.е..
Геометрически частные и полное приращения
функции
можно изобразить отрезками
.
Пример.Найти частные и полное
приращения функциив точке
,
если
=
0,2,
=
0,3.
Решение.По определению найдем частные приращения:
,
.
Найдем полное приращение функции:
.
При
=1,
=2,
=0,2,
=0,3
:
= 0,22 = 0,4,
=10,3 = 0,3,
0,4 + 0,3 +0,20,3 = 0,76,
=0,4 + 0,3 = 0,7,
0,70,76,
т.е. мы получили, что при таких условиях
.
Аналогично определяют частные и полное
приращения функции nпеременных.
Частные производные
Определение. Частной производной
функциипо переменной
в точке
называется предел отношения частного
приращения функции
к соответствующему приращению аргумента
,
когда последнее произвольным образом
стремится к нулю, т.е.
.
Используются также и другие обозначения
частных производных:
,
,
.
Аналогично определяют и частную
производную функции
в точке
по переменной
:
.
Таким образом, частная производная функции нескольких переменных определяется как производная функции одной переменной при фиксированных значениях остальных переменных.
Пример. Найти частные производные
функции.
Решение. Частную производную функциивычисляем как производную данной функции
по переменной
,
считая
постоянной:
.
Аналогично
.
Пример. Найти частные производные
функции.
Решение. Частную производную функциивычисляем как производную данной функции
по переменной
,
считая
и
постоянными:
.
Аналогично
и
.
Геометрический смысл частных производных
функции двух переменных. Пусть графиком
функцииявляется некоторая поверхностьQ.
Возьмем точку
D
.
На этой поверхности ей соответствует
точка
.
Пересечем график данной функции
плоскостью
.
В сечении получим кривую
(
на рисунке это кривая
),
которую можно рассматривать как график
функции одной переменной
в плоскости
.
Тогда, согласно геометрическому смыслу
производной функции одной переменной,
значение частной производной
функции
в точке
равно тангенсу угла α, образованного
положительным направлением оси Ох и
касательной, проведенной в точке
к линии пересечения поверхности
и плоскости
.
Аналогично трактуется и геометрический
смысл частной производной функции
по
.
Механический смысл частных производных
функции двух переменных. Частные
производныеи
характеризуют скорость изменения
функции
в данной точке
,
причем частная производная
задает скорость изменения функции в
направлении прямой
,
частная производная
― в направлении прямой
.