- •Учреждение образования
- •Содержание
- •Поверхности (линии) уровня
- •Предел функции нескольких переменных
- •Непрерывность функций нескольких переменных
- •Дифференцирование функций нескольких переменных
- •Дифференцируемость функций нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости
- •Полный дифференциал функции нескольких переменных
- •Дифференцирование сложной функции
- •Дифференцирование функции, заданной неявно
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Локальные экстремумы функции двух переменных
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Производная по направлению
- •Градиент функции
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Геометрическим образом (графиком) функции двух независимых переменных в пространствеR3является некоторая поверхностьQ. Выберем на ней точку.
Определение. Касательной плоскостью к поверхностиQв данной точкеназывается плоскость, которая содержит все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.
Уравнение касательной плоскости к поверхности в точкеимеет вид
.
Если уравнение поверхности Qзадано неявной функцией
, то:
,.
Подставим значения частных производных в уравнение касательной:
.
Следовательно, уравнение касательной плоскости к поверхности в точкев случае неявного задания функции имеет вид
Определение.Точка, в которойили хотя бы одна из этих производных не существует, называется особой точкой поверхности. В такой точке поверхность может не иметь касательной.
Определение. Нормалью к поверхностиQв данной точкеназывается прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности.
Запишем уравнения нормали к поверхности в точке, пользуясь условием перпендикулярности прямой и плоскости:
Если поверхность Qзадана неявно функцией то уравнения нормали принимают вид
.
Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхностив точке.
Решение.Уравнение поверхности задано явной функцией. Вычислим частные производные функции в точке:
,,
,.
Тогда уравнение касательной плоскости примет вид
.
Найдем уравнения нормали:
Пример. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхностив точке.
Решение.Уравнение поверхности задано неявно. Вычислим частные производные функции в точке
,,,
,,.
Следовательно, уравнение касательной плоскости имеет вид
.
Находим уравнения нормали
.
Производная по направлению
Рассмотрим в области Dфункциюи точку. Проведем из точкивектор, направляющие косинусы которого,и.Haвекторе, на расстоянииот его начала, рассмотрим точку.
Длина вектора равна:.
Будем предполагать, что функция непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в областиD. В этом случае ее полное приращение представимо в виде:
, (1)
где ,истремятся к нулю при. Разделим все члены равенства (1) на:
.
Очевидно, что ,,.
Следовательно, равенство (1) можно переписать так:
. (2)
Определение.Предел отношенияприназывается производной от функциив точкепо направлению вектораи обозначается, т. е..
Таким образом, переходя к пределу в равенстве (2), получим:
.
Величина характеризует скорость изменения функциив точкепо выбранному направлению. Если, то функцияв точкепо направлениювозрастает, в противном случае – убывает.
Отметим, что для функции двух переменных производная по направлению будет равна
.
Пример.Найти производную функциив точкев направлении вектора.
Решение.Найдем направляющие косинусы вектора:
,,.
Частные производные ,,
в точке будут,,.
Следовательно, .
Пример.Найти производную функциив точкепо направлению вектора, если точка.
Решение.Векторимеет координаты:, длина вектораравна:.
Найдем направляющие косинусы вектора :
,.
Частные производные ,.
в точке будут,.
Следовательно, .