![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Учреждение образования
- •Содержание
- •Поверхности (линии) уровня
- •Предел функции нескольких переменных
- •Непрерывность функций нескольких переменных
- •Дифференцирование функций нескольких переменных
- •Дифференцируемость функций нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости
- •Полный дифференциал функции нескольких переменных
- •Дифференцирование сложной функции
- •Дифференцирование функции, заданной неявно
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Локальные экстремумы функции двух переменных
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Производная по направлению
- •Градиент функции
Дифференцирование функции, заданной неявно
Известно, что функция
может быть задана неявно уравнением,
связывающим переменные
и
:
.
Например, уравнение
определяет функцию
,
при этомD
E
R.
Уравнение
выполняется только при
и задает точку
.
Уравнение
не определяет никакой функции наR,
так как оно не имеет действительных
корней, а значит, нельзя рассматривать
как функцию от
.
Итак, уравнение вида
не всегда задает функцию
.
Пусть уравнение
определяет
как некоторую функцию от
.
Если в это уравнение подставить вместо
у функцию
,
то получим тождество
.
Придадим
приращение
,
тогда значению аргумента будет
соответствовать значение функции
,
но с другой стороны
.
Разность
также равна нулю:
.
Как было показано выше, ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
.
Разделим последнее равенство на
:
.
Откуда
.
Перейдя к пределу, получим формулу вычисления производной функции, заданной неявно:
.
Аналогично можно вычислить частные
производные неявной функции
переменных по всем ее аргументам.
Например, для функции
справедливо:
,
.
Пример. Вычислить производную
неявной функции, заданной уравнением.
Решение.Обозначим левую часть
данного уравнения через.
,
.
Следовательно,
.
Пример. Вычислить производную
неявной функции, заданной уравнением.
Решение.Обозначим левую часть
данного уравнения через.
,
.
Следовательно,
.
Пример. Найти частные производные
неявной функции,
заданной уравнением
.
Решение.,
,
.
Следовательно,
,
.
Частные производные и дифференциалы высших порядков
Частные производные высших порядков.
Пусть функция
имеет непрерывные частные производные
и
в точке
D(
).
Эти производные, в свою очередь,
являются функциями двух переменных
и
.
Будем называть
и
частными производными первого порядка.
Частные производные по
и по
от частных производных первого
порядка, если они существуют, называются
частными производными второго порядка
от функции
в точке
и обозначаются
,
,
,
(если
дифференцируется последовательно два
раза по
);
,
,
,
(если
дифференцируется сначала по
,
а затем по
);
,
,
,
(если
дифференцируется сначала по
,
а затем по
);
,
,
,
(если
дифференцируется последовательно два
раза по
).
Производные второго порядка можно снова
дифференцировать как по
,
так и по
.
В результате получим восемь частных
производных третьего порядка:
,
,
,
,
,
,
,
.
Аналогично, частная производная от
производной
-го
порядка называется частной производной
-го
порядка и обозначается
,
,
и т. д.
Частные производные высших порядков
функции
,
взятые по различным переменным,
например,
,
,
,
и т.д., называются смешанными производными.
Среди частных производных второго
порядка функции
имеются две смешанные производные
и
.
Возникает вопрос: зависит ли результат дифференцирования функций нескольких переменных от порядка дифференцирования по разным переменным.
Справедлива следующая
Теорема. Если функцияи ее частные производные
,
,
и
определены и непрерывны в точке
и в некоторой ее окрестности, то
.
Замечание.Данная теорема, а также все приведенные выше рассуждения имеют место и для функции любого числа переменных.
Пример. Найти частные производные второго порядка функции
.
Решение.Функция определена и непрерывна наR2. Найдем частные производные первого порядка
,
.
Они определены и непрерывны на R2. Найдем частные производные второго порядка
,
,
.
Дифференциалы высших порядков. Пусть— функция двух независимых переменных
и
,
дифференцируемая в областиD(
).
Придавая
и
приращения
,
,
в любой точке
D
можно найти полный дифференциал
,
который называют дифференциалом
первого порядка функции
.
Дифференциал от дифференциала первого
порядка в любой точке
D
,
если он существует, называется
дифференциалом второго порядка и
обозначается
.
Найдем аналитическое выражение для
,
считая
и
постоянными:
.
Поступая аналогично, получаем аналитическое
выражение для дифференциала третьего
порядка
:
.
Замечание.Приведенные выше формулы дифференциалов не обладают свойствами инвариантности для сложных функций.
Пример. Найтии
,
если
.
Решение.Используем формулу для
вычисления полного дифференциала
.
,
.
Для определения
вычислим предварительно частные
производные второго порядка:
,
,
.