6

Практическое занятие по курсу «Автоматизация бизнес процессов»

Создание и использование математической модели

Для системы управления экономическим балансом

Краткие сведения из теории

Рассмотрим экономическую систему (меткомбинат, корпорацию, регион), состоящую из нескольких секторов А, Б, В, которые производят определенные товары и услуги. При производстве в каждом секторе расходуются ресурсы, которые вырабатываются как в данном секторе, так и в других секторах хозяйства. Т.е. каждый сектор экономики выступает одновременно производителем и потребителем в системе межотраслевых связей. Если вся произведенная продукция (совокупный продукт) реализуется в производящих секторах, система называется закрытой.

Схема межотраслевого баланса

Вектор выпуска Х

Вектор спроса Y

В открытой системе совокупный продукт распределяется на две части:

а) промежуточный продукт идет на использование в производящих секторах,

б) конечный продукт потребляется в секторе К конечного спроса – вне сферы материального производства.

Введем обозначения:

x _i – объем выпуска i-го сектора. Элементы x_i формируют вектор выпуска X – объем товаров и услуг, произведенных в каждом из производящих секторов;

y _i – конечный продукт i-го сектора. Элементы y_i формируют вектор конечного спроса Y – объем продукции каждого производящего сектора, который потребляется в секторе конечного спроса;

b _ij – объем товаров и услуг i-го производящего сектора, который потребляется в j-м производящем секторе. Элементы b_ij формируют матрицу межотраслевого баланса B, содержащую информацию об экономическом взаимодействии производящих секторов.

Состояние экономической системы, когда весь объем продукции каждого производящего сектора потребляется производственными секторами и сектором конечного спроса, называется межотраслевым балансом.

В матричной форме соотношение баланса имеет вид – X = B + Y . (1)

Основная задача межотраслевого баланса – для данной экономической системы найти выпуск продукции каждого производящего сектора, который в совокупности обеспечит удовлетворение конечного спроса.

Для решения этой задачи используются коэффициенты прямых затрат, которые представляют долю продукции i-го сектора, расходуемой в j-м производящем секторе – a _ij = b _ij / x _i . Элементы a_ij дают связь между выпуском и затратами в виде структурной матрицы экономики A.

Эти соотношения позволяют определить, каким должен быть выпуск продукции в каждом секторе, чтобы удовлетворить потребности экономической системы в целом. При этом, изменение выпуска в любом секторе экономики приводит к перераспределению затрат всех производящих секторов.

Межотраслевой баланс можно записать через матрицу А – В = А  Х . (2)

Преобразуем соотношение баланса (1) с использованием выражения (2)

X = А  Х + Y или ( E – A )  X = Y, где Е =– единичная матрица.

Тогда вектор выпуска определяется как Х = ( E – A )^{– 1}  Y. При этом матрицу, обратную матрице ( Е – А ), называют матрицей полных затрат S. Теперь компоненты вектора выпуска Х можно связать с компонентами вектора спроса Y

Коэффициенты S _ij матрицы полных затрат S показывают, на сколько нужно увеличить выпуск сектора x_i при увеличении на единицу продукции конечного спроса сектора y_j.

В экономической системе с заданной матрицей A спрос удовлетворяется, если для любого вектора спроса Y существует вектор выпуска X, все компоненты которого неотрицательны. Для этого все определители (миноры) матрицы ( Е – А ) должны быть неотрицательны (условие Саймона).