Обработка данных / [SHashkov_V.B.]_Obrabotka_yeksperimentalnueh_dannu(BookFi.org)

Если уравнение регрессии адекватно идеальной математической модели и функции истинного отклика, т.е. зависимость у=ϕ(х1,х2,…,хк) имеет

не стохастический, а функциональный характер, то yg=yrg и тогда значение функции (40) γ равно нулю.. Если же связи между величинами у и х нет и

зависимость у=ϕ(х1,х2,…,хк) вообще отсутствует (т.е. величины х и у независимы), то и в числителе, и в знаменателе равенства (49) останется только

одинаковая составляющая шума δ(w) и значение γ будет равно единице.. Все остальные значения величины γ , промежуточные между границами "0"

и "1", означают переменную "степень функциональности" зависимости между у и х. Графически эту "степень функциональности" можно интерпретировать как тесноту размещения точек на графике стохастической зависимости – чем гуще дорожка точек, тем меньше значение γ .

На практике используют не показатель γ , а обратную ему величину,

равную 1−γ . Ее поведение аналогично поведению коэффициента парной корреляции ρх,у – если зависимость между величинами отсутствует, ρх,у равен нулю, если зависимость функциональная, ρх,у равен единице. Поэтому переменную 1−γ называют корреляционным отношением θ, тогда

Таким образом, чем ближе значение θ к единице, тем сильнее сила стохастической связи в найденном уравнении, по которому рассчитано зна-

чение yrg. Если корреляционное отношение равно единице, то такая связь является функциональной. Это равносильно тому, что полином регрессии η(x,b)адекватен идеальной модели η(x,β), где β - идеальные коэффици-

62

13 Лекция 13. Построение оценки и доверительной области для математической модели объекта исследования

Ранее отмечалось, что для полинома регрессии типа

b0 +b1 x1+b2 x2+b12 x1 x2+b11 x12 +b22 x22 =y

левая часть алгебраически представляет собой произведение двух векторов:

-вектора коэффициентов b;

-вектора множителей при этих коэффициентах

который носит название вектора базисных функций. Матрица базисных функций F состоит из строк, образованных этими векторами. Поэтому расчетное значение отклика yg на g-ой строке таблицы экспериментальных данных есть

произведение g-ой строки матрицы F на вектор коэффициентов b.

Обозначим вектор базисных функций как f −T (x) , тогда расчетное значение отклика на g-ой строке таблицы данных будет равно f −T (xg )b.

В математической статистике оценки обозначают символом оцениваемой величины со знаком " ", поэтому оценку математической модели объекта исследования обозначим как

С помощью этой оценки мы можем предсказать значение отклика

f−T (xg )b в любой точке факторного пространства.

Вто же время идеальная модель отклика есть функция

η(x,β) = f −T (x)β =ϕ(x) = M{y(x)}.

Если x есть хg (конкретная точка факторного пространства), то пред - сказанное значение отклика есть оценка истинного значения M{y(xg )}.

Введем оценку математической модели (58) под символ математиче-

ского ожидания M{y(x,β)}= M{ f −T (x)b}= f −T (x)M b,

66

Можно показать /3/, что эта дисперсия меньше любой другой дисперсии любой другой оценки математической модели

< ~

D{y(x,b)} D{y(x,b},

т.е. оценка математической модели является не только несмещенной, но и

эффективной. Это же справедливо и для y(xg ,b) - для расчетного значения

отклика в данной точке факторного пространства, а в более узком смысле - для расчетного значения отклика на данной строке таблицы экспериментальных данных.

В геометрической интерпретации дисперсия D{y(x,b)} есть пространственный коридор ошибок, с помощью которого можно построить до-

верительную область для оценки ~y(x,β). Для n-факторов х (n строк табли-

цы экспериментальных данных) доверительная область есть n-мерная поверхность во многомерном пространстве. Для двух факторов –это поверхность второго порядка, для одного фактора (одной строки таблицы экспериментальных данных) –это интервал. Интервальная оценка расчетного значе-

ния отклика y(xg ,b) является еще одним критерием качества полинома рег-

рессии – чем уже интервал, тем точнее уравнение. При функциональной зависимости длина интервала равна нулю.

В уравнении (62) выражение f −T (x)M −1 f −(x) есть функция координат точки факторного пространства, для которой мы рассчитываем значение отклика, а векторы f −T (x), f −(x) являются вектором-строкой и век- тором-столбцом для g-строки матрицы базисных функций F, т.е. векторами f −T (xg ), f −(xg ) . Обозначим это произведение как

f −T (x)M −1 f −(x) =d(x).

В неравенство интервальной оценки показатель дисперсии входит под знаком квадратного корня. Тогда интересующая нас интервальная оценка будет иметь вид

y(xg ,b) −upσvos d(xg ) < M{y(xg ,b)}< y(xg ,b) +upσvos d(xg ) ,

а при неизвестной дисперсии воспроизводимости неравенство примет вид

68

14 Лекция 14. "Ортогональная" регрессия. Пример планирования эксперимента

Ранее было показано, что коэффициенты регрессии являются зависимыми друг от друга случайными величинами и что силу стохастической связи между ними характеризует значение второго смешанного центрального

момента µ11{bibj }. При этом значение коэффициентов регрессии bj зависит

от количества членов уравнения, т.е. уменьшение или увеличение их числа влияет на значение всех коэффициентов, включенных в полином. Поэтому если какой-то из коэффициентов близок к нулю, нельзя его просто исключить из уравнения, расчеты для новой формы полинома нужно проводить вновь и полностью. Эта неопределенность значений коэффициентов делает невозможной их физическую интерпретацию и является принципиальным недостатком метода.

Рассмотрим под этим углом строение матрицы моментов М. Ее элементы являются суммами произведений соответствующих векторов базис-

Если матрица будет диагональной, т.е.

то система нормальных уравнений (28) распадется на простые уравнения ви-

где j - индекс соответствующего столбца матрицы F , Mjj- диагональный элемент матрицы моментов M.

Зависимость коэффициентов регрессии друг от друга при этом исчезает, значение их станет однозначным и постоянным, т.е. исключение одного коэффициента из уравнения не будет влиять на значения других. Соотношение (64) есть условие ортогональности вектор-столбцов матрицы базисных функций F .

Таким образом, для получения независимых коэффициентов регрессии нужно спланировать эксперимент так, чтобы выполнялись условия линейной независимости и ортогональности вектор-столбцов матрицы базисных функций F .

70