Обработка данных / [SHashkov_V.B.]_Obrabotka_yeksperimentalnueh_dannu(BookFi.org)

Этот результат есть транспонированная матрица F, т.е. FT. Таким обра-

зом, правая часть системы уравнений (28) есть произведение yg FT и вся

система нормальных уравнений может быть представлена матричным уравнением

bM = FT yg ,

Это уравнение называется основным уравнением процедуры регресси - онного анализа. Из уравнения следует, что решение задачи регрессии определяется видом матрицы F и вектором yg.

Нахождение вектора коэффициентов в, т.е. получение уравнения регрессии, и составляет первую часть процедуры регрессионного анализа. После нахождения полинома регрессии следует оценить адекватность его функции истинного отклика, т.е. точность, с которой уравнение регрессии отражает таблицу экспериментальных данных. Решение этой задачи составляет вторую часть процедуры регрессионного анализа.

10.2 Коэффициенты регрессии b как статистические оценки и их

свойства

Вектор откликов объекта исследования yg есть случайная величина в связи с действием неучтенных в эксперименте факторов. Вектор коэффици-

ентов регрессии b связан с вектором yg линейно, и в силу этого имеет тот

же случайный характер с тем же законом распределения. Случайной величиной являются и расчетные значения yrg по уравнению регрессии.

В работе /1/ показано, что решение системы нормальных уравнений по

формуле Крамера позволяет сделать вывод, что значения коэффициентов b зависит от количества членов уравнения регрессии, т.е. все коэффициенты являются взаимозависимыми случайными величинами. В уравнении могут быть коэффициенты, значения которых близки нулю. Тем не менее, просто исключать их из уравнения нельзя; нужно делать полностью новый расчет для другой формы полинома регрессии, т.е. без членов, близких нулю. При этом значения всех сохраненных коэффициентов меняются. Другими словами, возможна группа разных полиномов с приблизительно одинаковыми ха-

рактеристиками точности для одной таблицы данных, т.е. само значение j-го коэффициента b неопределенно и не имеет физического смысла, отражающего сущность объекта исследования. Отсюда следует, что уравнение регрессии следует трактовать только как некую интерполяционную формулу, позво-

51

Таким образом, математическое ожидание статистической оценки b равно самой оцениваемой величине, из чего следует, что b есть несмещенная

где ε - сколь угодно малая величина.

Не приводя строгого математического доказательства состоятельности оценок, отметим только известное положение о том, что точность полиномов регрессии возрастает с увеличением степени, т.е. количества коэффициентов

b в уравнении. Поэтому с ростом числа n значение b стремится к β и произведение в уравнении (34) уменьшается, с вероятностью Р становясь меньше величины ε.

53

В работе /3/ показано, что статистические оценки b на множестве всех

≈

других линейных несмещенных оценок b обладает наименьшей дисперсион-

≈

ной матрицей, т.е. всегда справедливо, что D{b}≤D{b}, а это есть условие

эффективности оценок.

Таким образом, возвращаясь к предыдущему разделу, можем констатировать, что коэффициенты регрессии являются состоятельными, несмещенными и эффективными оценками истинных коэффициентов рег-

рессии β .

Уравнение (38) после перемножения векторов расписывается в дисперсионную корреляционную матрицу, на главной диагонали которой находятся дисперсии коэффициентов регрессии, а остальные элементы матрицы суть парные корреляционные моменты коэффициентов (см. таблицу 5; в таблицу вписаны не все элементы матрицы).

Наличие величин µ11{bibj }показывает, что коэффициенты регрессии

являются зависимыми друг от друга случайными величинами, а значение µ11{bibj }показывает силу стохастической связи между ними.

Если в уравнение (31)

b = M −1(FT yg ) =(FT F)−1(FT yg )

вместо величины yg подставить M{yg}, то справедливо

55

или М{ϖ×ϖT} будет дисперсионной матрицей наблюдений эксперимен-

та. Согласно условиям процедуры регрессионного анализа, во-первых, дисперсии воспроизводимости на разных строках таблицы эксперимен-

тальных данных равны, поэтому выносим их за матрицу. Во-вторых, результаты наблюдений yg на разных строках таблицы независимы, и поэтому смешанные центральные моменты типа М{(y1-M{y1}) (y2-M{y2})} будут равны нулю. Таким образом, после вынесения дисперсии σvos2 за пределы

матрицы, последняя превращается в единичную матрицу Е, и

M{(y −M{yg })(y −M{yg})T}= Еσvos2 .

Теперь выражение (40) приобретает вид

D{b}=(FT F)−1FT F(FT F)−1σvos2 .

Первые три множителя являются единичной матрицей, поэтому полу-

чаем

где М-1 – матрица моментов; С - обратная матрица.

Уравнение (41) относится ко всему вектору коэффициентов регрессии,

57

Остаточная дисперсия Sos2 t так же, как и дисперсия воспроизводим-

сти σvos2 , является мерой ошибки всей предшествующей процедуры обра-

ботки данных, но теперь, в отличие от σvos2 , эта ошибка имеет два источни-

ка. Во-первых, как и σvos2 , содержит ошибку экспериментального определе-

ния значения yg. Во-вторых, она содержит ошибку расчетного определения значения yrg, т.е. ошибку уравнения регрессии. Таким образом, соотношение

значений σ2vos и S2ost может иметь два результата. Если полином регрессии имеет ошибку, остаточная дисперсия будет больше дисперсии воспроизводимости, причем чем больше ошибка уравнения, тем больше разница между

σvos2 и Sos2 t . Если же полином регрессии η(x,b) адекватен функции ис-

тинного отклика ϕ(х), т.е. ошибка уравнения отсутствует и Sos2 t =σvos2 . Та-

ким образом, сопоставление этих дисперсий позволяет оценить точ-

ность полученного уравнения. Поскольку обе эти переменные являются случайными величинами, сравнивать их нужно не по фактическим единичным значениям, а с учетом рассеяния и с использованием интервальных оценок, что позволяет установить – значимо ли статистически различие между сравниваемыми величинами. Эта значимость проверяется по критерию Фишера F-распределения /3/, т.е. ошибка уравнения признается значимой, если

где F1− p - значение табличного квантиля распределения Фишера при

принятой вероятности р и степенях свободы m1=n-(k+1), m2= ∞; (k+1) – количество коэффициентов регрессии в полиноме.

Для учебных расчетов при р=0,95 и n=50 критической границей доверительного интервала ориентировочно можно считать F1− p =1,5. Если отно-

шение (45) равно либо меньше 1,5– дисперсии статистически неразличимы, т.е. их можно считать находящимися в одном доверительном интервале, а по-

лином - адекватным функции истинного отклика ϕ(х). Факт статистической

телем точности найденного уравнения регрессии, т.е. того факта, что найден-

59