Функции и линеаризующие преобразования

№ п/п	Функция	Линеаризующие преобразования
		Преобразованные переменные		Выражения для величин b0 и b1 по значениям
1. y x b0 b1 2. 1/y x b0 b1 3. x/y x b0 b1 4. ℓgy x ℓgb0 ℓgb1 5. ℓny x ℓnb0 b1 6. 1/y e-x b0 b1 7. ℓgy ℓgx ℓgb0 b1 8. y ℓgx b0 b1 9. 1/y x b1/b0 1/b0 10. 1/y 1/x b1/b0 1/b0 11. ℓny 1/x ℓnb0 b1 12. y xn b0 b1

10. Пример синтеза линейной регрессионной модели

Рассмотрим пример синтеза линейной регрессионной модели по данным экспериментального исследования зависимости плотности прессовок из порошка меди от давления прессования P. В таблице 6.2 приведены математические ожидания плотности прессовок при различных давлениях прессования – от 100 до 700 МПа. Графическое изображение экспериментальных данных, приведенное на рисунке 6.1, позволяет предположить наличие линейной корреляционной зависимости (г/см³) от Р(МПа).

Исходные данные для вычисления коэффициентов уравнения регрессии и вспомогательные расчеты приведены в табл. 6.2 и графически изображены на рисунке 6.1.

4 5 6 7Рис 6.1. Исходные данные зависимости плотности прессовок от давления прессования р

Таблица 6.2

Исходные данные и вспомогательные расчеты

№ опыта	Давление Р, МПа		Плотность , г/см3		Вспомогательные данные
	хi		yi		xi yi
1	100	= 368,75	5,00	6,38125	500	10000	25,0000
2	150		5,40		810	22500	29,1600
3	200		5,65		1130	40000	31,9225
4	300		6,30		1890	90000	39,6900
5	400		6,74		2696	160000	45,4276
6	500		7,06		3530	250000	49,8436
7	600		7,38		4428	360000	54,4644
8	700		7,52		5264	490000	56,5504
n = 8	= 2950		= 51,05		= 20248	= 1422500	= 332,0585

Выполняем расчет коэффициентов уравнения регрессии по формулам (6.8) и (6.9).

;

.

Для проверки гипотезы о статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии осуществляем расчет значений критерия t_расч. по формуле (6.10), предварительно определив величину стандартной ошибки коэффициентов уравнения регрессии по формуле (6.11).

;

;

.

Расчетные значения коэффициентов и превышают табличное, равное 2,45 при уровне значимости  = 0,05 и числе степеней свободы f = n – 2 = 6. Следовательно, коэффициенты уравнения регрессии b₀ и b₁ статистически значимы.

Можно записать линейное уравнение регрессии:

= 4,8131 + 0,004253  Р, г/см³ .

На рисунке 6.2 графически изображены результаты измерений плотности прессовок (их математические ожидания) при различных давлениях прессования и нанесена линия регрессии на Р в соответствии с выполненными расчетами параметров её уравнения.

Рис 6.2. Зависимость плотности прессовок от давления прессования Р

Определяем величину коэффициента парной корреляции по формуле (6.18).

.

Поскольку величина r_yx близка к единице, можно, даже не выполняя проверки его статистической значимости, сделать вывод о наличии тесной линейной корреляционной связи параметров и Р.

Для проверки гипотезы об адекватности полученного уравнения регрессии экспериментальным данным выполняем расчет величины критерия Фишера F_расч., используя вспомогательные данные, приведенные в таблице 6.3.

Таблица 6.3