6.8 Множественный корреляционно-регрессионный анализ

Те же математические принципы, на которых основано определение параметров уравнения с одной независимой переменной, могут быть распространены и на решение задач о влиянии любого числа факторов на выходной параметр объекта исследования.

Линейное уравнение регрессии для k переменных имеет вид:

, i = 1, 2 … k

То есть,

. (6.31)

Для определения параметров уравнения составляют систему уравнений, которая в общем случае k переменных и n строк эмпирических данных принимает вид:

Решение таких задач при k 3 и многочисленной выборке выполняется с помощью ЭВМ.

Самым простым случаем множественной линейной корреляционной связи является связь трёх переменных, из которых одна зависимая (функция Y) и две независимые (факторы или аргументы Х₁ и Х₂).

Рассматривая Y как функцию двух аргументов Х₁ и Х₂, следует учитывать, что Х₁ и Х₂ также могут быть корреляционно связаны между собой. В таком случае может рассматриваться как результат сочетания трёх парных зависимостей, описываемых коэффициентами парной корреляции. ИзменениеХ₁ вызывает изменение Y. Кроме того, изменение X₁ вызывает изменение X₂ и, наоборот, изменение X₂ вызывает изменение Х₁, эти изменения, в свою очередь, приводят к дополнительному изменению Y. Таким образом, воздействие каждого фактора на изучаемый параметр Y может быть в действительности больше или меньше того, которое учитывается линейным уравнением регрессии.

Степень изменения Y под воздействием изменений X₁ и X₂ для случая линейной корреляционной зависимости оценивается коэффициентом множественной корреляции R.

R показывает тесноту связи между Y и несколькими факторами, всегда положителен и изменяется от 0 до 1. Для вычисления R используют формулы:

, (6.32)

, (6.33)

где  сумма квадратов отклонений относительно регрессии;

сумма квадратов отклонений относительно среднего.

Квадрат коэффициента множественной корреляции называется множественным коэффициентом детерминации. Он характеризует ту долю изменений зависимой переменной Y, которая обусловлена влиянием всех факторов, входящих в регрессионную модель.

Значимость множественного коэффициента корреляции R и его квадрата – коэффициента детерминации R² проверяется по F-критерию.

Расчётное значение F для множественного коэффициента корреляции определяется по формуле:

. (6.34)

Множественный коэффициент корреляции считается значимым, если выполняется соотношение: , где f₁ = k – 2, f₂ = n – k – 1.

При большом числе факторов X₁, X₂, X₃ … X_k из-за сложного переплетения различных взаимосвязей определяют частные коэффициенты корреляции, оценивающие тесноту взаимосвязи двух факторов при исключении влияния остальных факторов на каждый из них.

Частные коэффициенты корреляции могут быть любого порядка, в зависимости от числа факторов, влияние которых на действие остальных факторов исключено. Так, при исключении влияния одного фактора получают частный коэффициент корреляции первого порядка. При исключении влияния двух факторов получают частный коэффициент корреляции второго порядка и т.д.

Понятно, что парные коэффициенты корреляций факторов могут рассматриваться как частные коэффициенты корреляции нулевого порядка.

Ниже приведены формулы для вычисления частных коэффициентов корреляции первого и второго порядка:

_{; (6.35)}

. (6.36)

В круглых скобках указаны парные коэффициенты между соответствующими факторами при исключении влияния на них факторов, которые поддерживаются на постоянном уровне и указаны за круглыми скобками.

Получив уравнение регрессии, необходимо оценить его возможности. В большинстве случаев достаточно оценить значимость коэффициентов регрессии и адекватность полученного уравнения регрессии экспериментальным данным.

Проверка значимости коэффициентов регрессии в случае множественной регрессии аналогична парной. Если имеет место соотношения , то соответствующий коэффициент регрессииb_i признаётся незначимым, что свидетельствует о несущественном влиянии соответствующего фактора на параметр Y. В принципе этот фактор X_i может быть исключен из уравнения регрессии.

Однако значение зависит не только от самого коэффициента регрессииb_i, но и от того, насколько сильно факторы коррелированны между собой. Поэтому при исключении какого-либо из факторов из уравнения регрессии значимость других коэффициентов регрессии может измениться. Отсев несущественно влияющих факторов при их взаимной коррелированной взаимосвязи сложен и удовлетворительного решения пока не имеет.

Остальной статистический анализ уравнений множественной регрессии аналогичен анализу уравнений парной регрессии.