
- •Глава 6. Основные принципы построения регрессионных моделей
- •6.1 Парная корреляция и регрессия
- •6.2 Определение параметров выборочного уравнения прямой линии
- •6.3 Оценка тесноты линейной корреляционной связи переменных х и y
- •6.4 Оценка точности определения значений зависимой переменной по уравнению регрессии
- •6.5 Коэффициент детерминации
- •6.6 Проверка адекватности уравнения регрессии и ошибки предсказаний
- •6.7 Три показателя корреляции и регрессии, их значение и применение
- •6.8 Множественный корреляционно-регрессионный анализ
- •То есть,
- •6.9 Нелинейная парная регрессия и криволинейная корреляция
- •Функции и линеаризующие преобразования
- •Пример синтеза линейной регрессионной модели
- •4 5 6 7Рис 6.1. Исходные данные зависимости плотности прессовок от давления прессования р
- •Исходные данные и вспомогательные расчеты
- •Данные вспомогательных расчетов для вычисления Fрасч.
- •6.11 Пример выбора функциональной зависимости для описания парной нелинейной корреляционной связи переменных
- •Давления прессования р
- •Рассматриваемые функциональные зависимости и их параметры
- •6.12 Вопросы для самоконтроля
Функции и линеаризующие преобразования
№ п/п |
Функция |
Линеаризующие преобразования | |||
Преобразованные переменные |
Выражения для величин b0 и b1 по значениям | ||||
|
|
|
| ||
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
|
Пример синтеза линейной регрессионной модели
Рассмотрим пример
синтеза линейной регрессионной модели
по данным экспериментального исследования
зависимости плотности прессовок из
порошка меди
от давления прессования P.
В таблице 6.2 приведены математические
ожидания плотности прессовок при
различных давлениях прессования – от
100 до 700 МПа.
Графическое изображение экспериментальных
данных, приведенное на рисунке 6.1,
позволяет предположить наличие линейной
корреляционной зависимости
(г/см3)
от Р(МПа).
Исходные данные для вычисления коэффициентов уравнения регрессии и вспомогательные расчеты приведены в табл. 6.2 и графически изображены на рисунке 6.1.
4 5 6 7Рис 6.1. Исходные данные зависимости плотности прессовок от давления прессования р
Таблица 6.2
Исходные данные и вспомогательные расчеты
№ опыта |
Давление Р, МПа
|
Плотность
|
Вспомогательные данные | ||||
хi |
|
yi |
|
xi yi |
|
| |
1 |
100 |
= 368,75 |
5,00 |
|
500 |
10000 |
25,0000 |
2 |
150 |
5,40 |
810 |
22500 |
29,1600 | ||
3 |
200 |
5,65 |
1130 |
40000 |
31,9225 | ||
4 |
300 |
6,30 |
1890 |
90000 |
39,6900 | ||
5 |
400 |
6,74 |
2696 |
160000 |
45,4276 | ||
6 |
500 |
7,06 |
3530 |
250000 |
49,8436 | ||
7 |
600 |
7,38 |
4428 |
360000 |
54,4644 | ||
8 |
700 |
7,52 |
5264 |
490000 |
56,5504 | ||
n = 8 |
|
|
|
|
|
|
|
Выполняем расчет коэффициентов уравнения регрессии по формулам (6.8) и (6.9).
;
.
Для проверки гипотезы о статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии осуществляем расчет значений критерия tрасч. по формуле (6.10), предварительно определив величину стандартной ошибки коэффициентов уравнения регрессии по формуле (6.11).
;
;
.
Расчетные
значения
коэффициентов
и
превышают табличное, равное 2,45 при
уровне значимости
= 0,05 и
числе степеней свободы f
= n
– 2
= 6.
Следовательно, коэффициенты уравнения
регрессии b0
и b1
статистически значимы.
Можно записать линейное уравнение регрессии:
= 4,8131
+ 0,004253
Р, г/см3
.
На рисунке 6.2
графически изображены результаты
измерений плотности прессовок (их
математические ожидания) при различных
давлениях прессования и нанесена линия
регрессии
на Р
в соответствии с выполненными расчетами
параметров её уравнения.
Рис 6.2. Зависимость
плотности прессовок
от
давления прессования Р
Определяем величину коэффициента парной корреляции по формуле (6.18).
.
Поскольку величина
ryx
близка к единице, можно, даже не выполняя
проверки его статистической значимости,
сделать вывод о наличии тесной линейной
корреляционной связи параметров
и Р.
Для проверки гипотезы об адекватности полученного уравнения регрессии экспериментальным данным выполняем расчет величины критерия Фишера Fрасч., используя вспомогательные данные, приведенные в таблице 6.3.
Таблица 6.3