4.3. Понятие об устойчивости систем управления

Сходимость переходного процесса определяет одно из основных свойств систем – их устойчивость, т.е. способность возвращаться в исходное состояние после снятия или прекращения изменения воздействия, выведшего ее из этого состояния. Это свойство является одним из основных условий работоспособности любой системы управления. Понятие устойчивости неразрывно связано с понятием равновесия.

Равновесным состоянием тела (или некой системы) называется такое состояние, в котором сумма всех внеш­них воздействий равна нулю. Равновесное состояние может быть устойчивым, неус­тойчивым и нейтральным.

Классической иллюстрацией этого положения яв­ляется поведение шарика, помещенного на дно лунки (рис. 4.3, а), на вершину холма (рис. 4.3, б) и на горизонтальную плоскость (рис. 4.3, в). В каждом из этих случаев сумма внешних сил, дей­ствующих на шарик, равна нулю и, следовательно, ша­рик находится в состоянии равновесия. Однако, если в первом случае после малого

Рис. 4.3. Механическая интерпретация понятия устойчивости

отклонения шарик через некоторое время вновь возвращается в исходное положение равновесия, то во втором он будет продолжать отклоняться от него, а в третьем – просто перейдет в новое положение равновесия, зависящее от величины отклонения.

Рассмотрим с этой точки зрения системы автоматиче­ского управления.

Каждая АСУ характеризуется неким равновесным состоянием, которое нарушается при внешних воздейст­виях. Это могут быть сигналы управления, помехи и т.п. Под устойчивостью АСУ подразумевается свойство системы возвращаться к первоначальному состоянию после прекращения воздействия, выведшего систему из этого состояния. Если при этом ампдитуда меньше допустимых технологией значений и наличие колебаний не ухудшает стойкости агрегата, то такую систему можно эксплуатировать.

Обозначим: у (t₀) – значение выходной величины в равновесном состоянии системы (в момент времени t₀), y (t) – текущее значение выходной величины после нанесения возмущения f (t). Тогда в устойчивой системе при t   величина y (t) стремится к своему начальному значению y (t₀) в случае f (t) = сonst или после снятия воздействия f (t) = 0.

Неустойчивая система не возвращается к состоянию равновесия по окончании воздействия, а непрерывно удаляется от него или совершает недопустимо большие колебания.

Следует различать устойчивость «в малом» и «в целом». Так, некоторые автоматические системы могут быть устойчивы при воздействиях, не выходящих за определенные пределы, и неустойчивы «в целом» при больших воздействиях. Механический аналог таких систем показан на рис. 4.3, г.

Заметим также, что, согласно принятому нами определению, нейтральные АСУ, т.е. такие, в которых по окончании воздействия устанавливается новое состояние равновесия, отличное от первоначального и зависящее от произведенного воздействия, являются неустойчивыми.

4.4. Оценка качества процесса управления

Устойчивость системы автоматического управления необходимое условие ее работоспособности, но это условие далеко не исчерпывает всех тех требований, которые предъявляет практика использования АСУ. Так, во многих случаях требуется, чтобы за строго определенное время система переходила из одного устойчивого состояния в другое (быстродействие) или чтобы система достаточно точно воспроизводила воздействия, несущие информацию об изменении управляемых переменных. Иногда к АСУ предъявляют требование плавности изменения выхода и т.п.

Комплекс требований, определяющих поведение системы в установившемся и переходном режимах при заданном воздействии, объединяют в понятие качества процесса управления. Понятно, что качество регулирования зависит от принятого алгоритма функционирования регулятора – закона регулирования.

Для оценки качества управления используется ряд числовых показателей. В статическом состоянии о качестве управления судят по величине статической ошибки. В динамических режимах качество систем оценивается по характеру переходного процесса.

Показатели качества, определяемые непосредственно по кривой переходного процесса, называют прямыми оценками качества. Чаще всего прямые оценки получают по кривой переходной характеристики h(t), т.е. по кривой переходного процесса, вызванного единичным ступенчатым сигналом при нулевых начальных условиях. Переходная характеристика может быть получена как для выходной величины y(t), так и для ее отклонения (t) от заданного значения.

К прямым оценкам качества относятся следующие показатели (рис. 4.4) :

1. Время регулирования Т_р – промежуток времени от момента внесения воздействия до момента, после которого регулируемая величина h (t) становится и остается близкой к установившемуся значению h_уст с заданной точностью , т.е.  h (t) – h_уст  . .

2. Время достижения первого максимума – t _max 1.

3. Колебательность переходного процесса определяется числом колебаний . Чаще всего допускается  = 1…2, иногда 3…4, но в некоторых случаях колебания в системе недопустимы.

4. Частота колебаний гдеТ_к – период колебаний.

5. Перерегулирование  – выраженное в процентах максимальное отклонение регулируемой величины от установившегося значения

. (4.2)

Обычно перерегулирование не должно превышать  = 10…25 %.

6. Декремент (скорость) затухания колебаний

(4.3)

Рис. 4.4. К определению прямых показателей качества

Помимо прямых показателей качества, для анализа систем часто используют косвенные, основанные на вычислении определённых интегралов от некоторых функций отклонения регулируемой величины.

Наибольшее применение находят оценки следующего вида

, (4.4)

, (4.5)

где у(t) = у(t) – g(t) – отклонение регулируемой величины у от заданного значения g(t).

Если заданное значение изменяется скачком, то идеалом переходного процесса будет мгновенное достижение регулируемой величиной нового значения. Показатель качества при этом – площадь фигуры, заключенной между кривой переходной характеристики и идеальной (мгновенной) реакцией системы на ступенчатое воздействие, вызвавшее этот переходной процесс.

Очевидно, реальный процесс тем меньше будет отличаться от идеального, чем меньше будет сумма абсолютных значений заштрихованных на рис. 4.5 площадей. Следовательно, лучшими качественными показателями будут, при прочих равных условиях, обладать системы, для которых значения интегралов (4.4) и (4.5) минимальны.

Рис. 4.5. К определению интегральных показателей качества

Интеграл (4.4) представляет собой такую сумму площадей, где отдельные площади суммируются с разными знаками. Такой интеграл может дать правильное представление о переходном процессе только в случае монотонного апериодического процесса. Поэтому область его применения ограничена.

Для оценки колебательных переходных процессов необходимо использовать квадратичное интегральное отклонение (4.5).

Такие косвенные интегральные оценки обычно применяют для анализа процесса свободных колебаний, а также процессов, вызванных ступенчатым воздействием. Однако они позволяют учитывать и влияние непрерывно изменяющихся возмущений.