В цьому випадку задача ідентифікації параметрів моделі може бути записана у вигляді задачі мінімізації функції (а не функціонала) невязки
Q(C) → mink |
C* |
(3) |
C R |
, |
рішенням якої є вектор С*=(с*1,с*2,...,с*k).
Таким чином загальна задача ідентифікації зводиться до параметричної ідентифікації (12) з метою спрощення задачі і приведення її до класу задач математичного програмування. Тоді задача параметричної ідентифікації формулюється як задача мінімізації функції багатьох змінних, котрі належать заданій множині.
Розглянемо різні можливі види функції F, які можуть бути отримані на етапі структурної ідентифікації, і проаналізуємо специфіку їх ідентифікації різнимиметодами.
2.10 Параметрична ідентифікація лiнiйних моделей.
Модель лінійного об`єкта з n входами і m виходами має єдину можливу структуру, яка записується у вигляді системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) :
|
У = Сo + C*Х , |
(5) |
||||||||
де Х={x1, ..., xn} ; Y={y1, ...,ym} ; Co={c10, ..., cm0} |
|
|||||||||
|
C = |
|
c11 |
... |
c1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а |
|
... ... ... |
|
|
|
|
(6) |
|||
|
|
cm1 |
... |
cmn |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Якщо m=1, отримуємо рівняння : |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
y = c0 + ∑cixi |
(7) |
||||||||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
Отже постановка задачі виглядає наступним чином :
15
на основі інформації про роботу об`єкта необхідно ідентифікувати (n+1) невідомих параметра (C0, C1, ..., Cn). Звичайно, апостеріорна інформація представлена у вигляді пари
Β= <Xj,Yj>, |
(8) |
де Хj={x1j, ..., xnj} - j-й стан входу об`єкта ; |
Yj - реакція об`єкта |
на цей стан. |
|
2.10.1 МЕТОД (001) - пасивний, неадаптивний, покроковий.
♦♦ Якщо існує впевненість, що об`єкт абсолютно лінійний, будується проста СЛАР :
|
n |
|
|
|
C0 + ∑ci xij |
, |
(9) |
|
i =1 |
||
де |
j= 1, ..., N , a N>= n+1 ; |
n |
- кількість входів моделі |
; N - кількість експериментальних даних <Xj,Yj>.
Таким чином, для отримання розв`язку цієї СЛАР з N пар вибирають n+1 лінійно незалежних.
♦♦ Якщо існує ймовірність, що об`єкт може бути не зовсім лінійним, необхідно, щоб N>n+1. Тоді для використання додаткових даних вводиться поняття сумарної нев`язки виходів моделі і об`єкта :
N |
|
|
Q(C) = ∑qi2 (C) |
, |
(10) |
i=1 |
де qi - локальна нев`язка :
n |
|
qi = c0 + ∑cj xji − yi |
(11) |
j =1 |
|
|
Тепер задачу оцінки параметрів С знову можна представити як задачу мінімізації нев`язки Q(C), тобто її зводять до рішення наступної системи лінійних рівнянь :
16
З а у в а ж е н н я. Якщо ранг матриці (6) менший n+1 - необхідно :
-повторити експерименти і використати ширший діапазон зміни вхідного стану об`єкта ;
-повторити структурну ідентифікацію і змінити структуру моделі ;
-спростити модель шляхом пониження числа ідентифікованих параметрів.
Все це необхідно робити до тих пір, поки ранг мтриці ||С|| не співпаде з її розмірністю.
2.10.2 МЕТОД (011) - пасивний, адаптивний, покроковий.
Адаптивний метод звязує значення параметрів моделі на двох послідовних кроках :
|
Ci = J( Ci-1 , Xi , Yi ) , |
|
|
|
|
(12) |
||||||||
де J - алгоритм адаптації ; |
|
Ci = ( co(i) , c1(i) , ..., cn(i) ). |
||||||||||||
В якості такого алгоритму найчастіше використовується |
||||||||||||||
алгоритм найшвидшого спуску : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
c |
= c |
|
−α |
i |
grad q2 |
(c |
) |
, |
|
|
(13) |
|||
i |
i −1 |
|
|
|
i |
|
i−1 |
|
|
|
||||
де qi(ci-1) |
- нев`язка на і-му кроці |
при |
значенні |
|||||||||||
параметрів моделі на (і-1)-му кроці адаптації : |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
qi (ci −1 ) = c0(i −1) |
+ ∑c(ji −1)xji − yi |
|
|
(14) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Градієнт квадрата цієї нев`язки рівний |
|
|
|
|
||||||||||
grad q2 |
(c |
) = 2q |
(c |
|
) (1,x |
,x |
2i |
,...,x |
ni |
) |
(15) |
|||
i |
i −1 |
|
|
i |
i−1 |
|
1i |
|
|
|
||||
В свою чергу, параметр αI вибирається з умови мінімума текучої нев`язки. Підставивши умову qi(ci)=0 в (13) , отримаємо
:
αi = |
1 |
|
2 (1 + ∑Nj =1 x2ji ) |
(16) |
17
Графічно процес адаптивної ідентифікації для найпростішої моделі типу у=сo+c1x з параметрами co* = 1 ; c1* = 1 можна зобразити наступним чином - рис. __.
2.10.3 МЕТОД (111) - активний, адаптивний, покроковий.
Активні методи передбачають можливість встановлювати входи об`єкта в необхідний для експериментатора стан. Тому, візьмемо, для прикладу, 1-вимірний об`єкт (n=1) і спробуємо по кроках x1 , x2 ,..., xn так підібрати стани входу б`єкта, щоб модель попала в с* за мінімальне число кроків.
Щоб для 1-вимірного об`єкта за 2 кроки попасти в с* достатньо на 1-му кроці вхід х1 зробити довільним, а на 2-му встановити
х2 = -1/х1 . |
(17) |
Таким чином , дві пари - <x1 , y1> і <-1/x1 , y2> ,
де у2 - реакція об`єкта на вхід (-1/х1) , розв`язують дану 1-вимірну задачу ідентифікації за два кроки.
Аналогічно в багатовимірному випадку (n>1) можна побудувати таку послідовність станів Х1 , ... , Хn+1 , реалізація котрих за n+1 крок адаптації будуть знайдені точні значення ідентифікованих параметрів. Для цього достатньо щоб вектори Zi = (1 , Xi) були взаємно ортогональні :
18
|
npu |
i ≠ j |
|
|
= 0, |
(i, j = 1,...,n +1) |
|
||
[Zi ,Zj ]= |
|
|
(18) |
|
|
npu |
i = j |
|
|
≠ 0, |
|
|
В цьому випадку на (n+1)-му кроці ідентифікації параметри співпадуть з параметрами оптимізації.
19