5.3. Розрахунок каскадної сар

Оскільки при застосуванні ПІД-регулятора не було досягнуто потрібного результату регулювання, то потрібно шукати способи підвищення якості САР. Даний об’єкт регулювання, є досить інерційним, тому розрахуємо каскадну САР і порівняємо результати її роботи з результатами роботи одноконтурної САР. Допоміжною регульованою величиною є витрата повітря в трубопроводі повітря.

Каскадні системи регулювання застосовують для об’єктів регулювання, що мають велику інерційність каналом регулюючої дії. В таких системах обирають менш інерційну до найбільш небезпечних збурень допоміжну вихідну величину з такою ж регулюючу дію. В каскадній системі регулювання (див. рис. 5.6, 5.7 ) є два регулятори - основний (зовнішній або коректуючий ), що підтримує основну вихідну величину y на заданому значенні та допоміжний (внутрішній або стабілізуючий), призначений для регулювання допоміжної вихідної величини y₁ . Вихідний сигнал основного регулятора може бути завданням для допоміжного регулятора або може його коректувати. Для підтримання основного регульованого параметру на заданому значенні без статичної похибки закон регулювання основного регулятора мусить мати інтегральну складову. Від допоміжного регулятора вимагається в першу чергу швидкодія, тому він може бути і пропорційним.

Рис. 5.6. Функціональна схема каскадної САР.

Рис. 5.7. Структурна схема каскадної САР.

Розрахунок каскадних САР полягає у визначенні параметрів настроювання основного і допоміжного регуляторів при заданих функціях передачі об'єкта регулювання за основною у і допоміжною y₁ вихідними величинами. Процедура розрахунку такої системи є ітераційною. Кожна ітерація складається з двох кроків. На кожному кроку ітерації розраховують приведену одноконтурну систему, в якій параметри настроювання одного з регуляторів визначають відносно відповідного еквівалентного об'єкта. Як видно із структурної схеми на рисунку 5.8 еквівалентний об'єкт для основного регулятора АР з функцією передачі W_AP(p) є послідовним з'єднанням замкнутого допоміжного контуру і об'єктом регулювання за основною вихідною величиною. Функція передачі такого еквівалентного об'єкта визначається добутком функцій передачі послідовно з'єднаних елементів

Еквівалентний об'єкт для допоміжного регулятора АР1 (рисунок 2.8) є паралельним з'єднанням об'єкта за допоміжною вихідною величиною і розімкненою системою за основною регульованою величиною. Його функція передачі має вигляд

Оскільки інерційність допоміжного каналу суттєво менша від основного, розрахунок починаємо з основного регулятора.

На першому кроці розрахунку припускаємо, що робоча частота основного контуру набагато менше частоти допоміжного контуру, тому в першому наближенні можна прийняти функцію передачі еквівалентного об'єкта у вигляді

,

де верхній індекс (1) біля функції передачі еквівалентного ОР означає номер ітерації.

Таким чином на першому кроці параметри настроювання основного регулятора залежать від функцій передачі об’єкта регулювання і не залежать від параметрів допоміжного регулятора. На другому кроці першої ітерації розраховують параметри настроювання допоміжного регулятора АР1 для еквівалентного об’єкта з функцією передачі , куди підставляють функцію передачі основного регулятора з параметрами настроювання, розрахованими на першому кроці.

В наближених розрахунках каскадних систем регулювання обмежуються першими двома кроками. При точних розрахунках здійснюють другу ітерацію, під час якої уточнюють параметри настроювання основного регулятора для еквівалентного об’єкта з функцією передачі за наведеним вище рівнянням, куди підставляють значення параметрів настроювання допоміжного регулятора, розраховані в першій ітерації на другому кроці. Далі знову розраховують параметри допоміжного регулятора за функцією передачі еквівалентного об’єкта за формулою, в яку підставляють параметри настроювання основного регулятора, розраховані на третьому кроці другої ітерації. Ітерації продовжують доти, доки параметри відповідно основного і допоміжного регуляторів не збігатимуться із заданою точністю.

Допоміжною регульованою величиною є витрата повітря. Функція передачі ОР каналом “положення РО в трубопроводі повітря – витрата повітря в мА”:

Розрахунок каскадної САР розпочинаємо з основного регулятора. В якості основного регулятора вибираємо ПІ-регулятор, а допоміжного – П-регулятор.

На першому кроці розрахунку припускаємо, що робоча частота основного контуру набагато менша від частоти допоміжного контуру, тому в першому наближенні можна прийняти функцію передачі еквівалентного об’єкта (рисунок 2.9) у вигляді:

.

Отже, на першому кроці параметри настроювання основного регулятора залежать від функції передачі об’єкта регулювання і не залежать від параметрів допоміжного регулятора. На наступних ітераціях застосовуємо функцію передачі еквівалентного об’єкта у повному вигляді

.

Розрахунок параметрів настроювання регулятора здійснюємо методом розширених частотних характеристик.

Розрахунок здійснюю, використовуючи програмне середовище Matlab.

Програма для побудови границі області запасу стійкості для основного регулятора

m=0.32;T=65;dy=0.769;

tau=10;

k=dy/20;Td=0;

w=[0.085:0.001:0.2];

p=-m*w+i*w;

Wo=k*exp(-tau*p)./(T*p+1);

W1=1.5./(19.*p+1);

%W=Wo./W1;

Ar1=4.25;

Ar1=2.95;

W=Ar1*Wo./(1+W1*Ar1);

A_op=abs(W);

f=phase(W);

ga=abs(f)+atan(m)-pi;

%Параметри ПІД-регулятора

Tiz=w.*sqrt(m^2+1).*(m*cos(ga)-sin(ga))./A_op+w.^2*(1+m^2)*Td ;

Kp=sqrt(m^2+1)*cos(ga)./A_op+2*Td*m.*w;

[Kp_Tiz,s]=max(Tiz)

Kp_roz=Kp(s)

Ti=Kp_roz/Kp_Tiz;

ym=Td/Ti

plot(Kp,Tiz,'k', Kp_roz,Kp_Tiz,'ko');grid;

Програма для побудови границі області запасу стійкості допоміжного регулятора

m=0.32;T=65;dy=0.769;

tau=10;

k=dy/20;Td=0;

w=[0.085:0.001:0.455];

p=-m*w+i*w;

Wo=k*exp(-tau*p)./(T*p+1);

W1=1.5./(19.*p+1);

% Waro=14.0253./p+49.4906;

Waro=13.2091./p+67.9502;

Waro=13.3537./p+78.74;

W=W1-Waro.*Wo;

A_op=abs(W);

f=phase(W);

ga=abs(f)+atan(m)-pi;

%Параметри П-регулятора

Tiz=w.*sqrt(m^2+1).*(m*cos(ga)-sin(ga))./A_op+w.^2*(1+m^2)*Td ;

Kp=sqrt(m^2+1)*cos(ga)./A_op+2*Td*m.*w;

[Kp_Tiz,s]=max(Tiz)

Kp_roz=Kp(s)

Ti=Kp_roz/Kp_Tiz;

ym=Td/Ti

plot(Kp,Tiz,'k', Kp_roz,Kp_Tiz,'ko');grid;

Проводимо послідовно три ітерації. Пораховані за допомогою програмного середовища Matlab значення параметрів настроювання допоміжного й основного регуляторів записуємо в таблицю.

Номер ітерації		1	2	3
Основний ПІ-регулятор	kp	49.4906	67.9502	78.7403
	Kp/Tiz	14.0253	13.2091 2	13.3537
Допоміжний П-регулятор	kp	4.25	2.95	2.5

Границі областей заданого запасу стійкості для основного і допоміжного регуляторів, розраховані на третій ітерації, показані на рис.

Рис. 5.10. Границя області запасу стійкості m=0.32 САР з основним

ПІ-регулятором, отримана на першому кроці третьої ітерації.

Рис.5.11. Границя області запасу стійкості m=0.32 САР з допоміжним П-регулятором, отримана на третій ітерації.

Таким чином отримані такі фунції передачі регуляторів

основного ПІ-регулятора

допоміжного П-регулятора