Lektsiyi_Ukhanska_1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

сталих інтегрування C1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

2.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

2 y;

2 y

;

. Тоді рівняння Ейлера має вигляд

x y

y y

2 y 2 y

лінійне однорідне

рівняння

із сталими коефіцієнтами.

Характеристичне рівняння

1 0

, звідки

k i

. Тому

y C1 cos x C2 sin x .

З умов

y 0

1 знаходимо C1 0, C2 1. Отже, екстремум досягається лише на кривій

y sin x .▪

Рівняння Ейлера інтегрується не завжди. Розглянемо ті випадки, коли рівняння

Ейлера можна проінтегрувати.

Функція

F x, y, y

не залежить від y

F F x, y . Рівняння Ейлера в цьому

0 .

випадку має вигляд

Розв’язок не містить елементів довільності і тому,

взагалі

кажучи,

не

задовольняє

граничні

умови

y a ya , y b yb .

Отже,

розв’язок цієї варіаційної задачі не існує. Лише у виняткових випадках, коли крива

проходить через граничні точки, то існує крива, на якій може досягатися

екстремум.

Функція

F x, y, y	/

лінійно залежить від

y	/

F x, y, y	/
	/

M x, y

N x, y

y	/

. Тоді

I y

M N y

dx .

Рівняння Ейлера:

або

, а

це не є диференціальне

рівняння.

Тому

крива

взагалі-то

не

задовольняє

граничні

умови, значить варіаційна

задача,

як

правило, не

має

розв’язків в класі неперервних функцій. Якщо ж

0 , то вираз

Mdx Ndy

є повним

диференціалом і I y M N

dx Mdx Ndy

не

залежить

від

шляху інтегрування, значення функціонала є постійним на допустимих кривих.

Варіаційна задача не має змісту.

Функція

F x, y, y /

залежить лише від

y / :

F x, y, y / y / . Тоді рівняння Ейлера

y //

0 , звідки

маємо

0 ,

або

y // 0 . Розв’язок

y C x C

другого

y / 2

рівняння дає нам двопараметричне сімейство прямих. Якщо рівняння

має

один або декілька дійсних коренів y

ki , то

y ki x C

однопараметричне

сімейство прямих, які належать до отриманого вище сімейства

y C1 x C2 . Отже,

екстремалями є прямі

y C1 x C2 .

Функція

F x, y, y

не залежить

від

y :

F F x, y

. Рівняння Ейлера в цьому

F x, y

випадку має вигляд

, звідки маємо рівняння

C1 ,

яке

інтегрується або безпосередньо або шляхом введення відповідного параметра.

Функція

F x, y, y

не

залежить

від

x :

F y, y

Рівняння Ейлера:

y y

Помножимо

рівняння

Ейлера

на

y / :

y y

або

d
	F y /

dx

Fy /

  

звідки отримуємо

рівняння 1-го порядку

проінтегрувати.

3. Канонічні рівняння.

Розглянемо функціонал

F y	F
/	y
	/

, яке явно не містить

і яке можна

F x, y

,..., y

, y

,..., y

при умовах

yi a yi 0

yi b yi1 ,

i 1, n .

В цьому випадку варіація функціонала має вигляд

		n	b	F
							i
I					y
		i 1	a yi
звідки
	F	d		F
						0
				/		0
	yi			/
	yi	dx		yi

	F
		/
		/
	/	yi dx ,
	yi

(6.10)

(6.11)

(6.11) – система n диференціальних рівнянь 2-го порядку, яка називається канонічною системою рівнянь екстремалей для функціонала (6.10).

4. Достатні умови існування екстремуму функціонала.

Нехай

y y

- допустима екстремаль функціонала

залежить від знаку другої варіації функціонала

I y

b F x,

y	/

. Знак приросту

b 2 F

2 F

2 y

y y

/ 2 y

dx .

Якщо 2 I 0 для довільного

, то на екстремалі

y y

функціонал має мінімум.

Якщо

I 0

для довільного

, то на екстремалі

y y

функціонал має максимум.

Якщо

I 0

для довільного

,то на екстремалі

y y

функціонал не має екстремуму.

Достатня умова Якобі.

Означення 5. Диференціальне рівняння 2-го порядку

u 0

F /

називається рівнянням Якобі.

Функція

u x , яка задовольняє початкові умови

u a 0, u

a 1

, є розв’язком рівняння

Якобі. Нулі функції u x , які відмінні від точки

a , називаються спряженими точками.

Теорема Якобі. Для того, щоб

на допустимій екстремалі y x

функціонал

I y мав

мінімум , необхідно, щоб

/ 0

для всіх

x a,b ;

на інтервалі

a,b не було спряжених точок

і достатньо, щоб

/ 0

для всіх

x a,b ;

на напівінтервалі

a,b не було спряжених точок.

( Для точок максимуму матимемо протилежні знаки ).

Приклад. Дослідити на екстремум функціонал

I y y 2 y / 2 dx, y 0 0, y T y1 .

▪ Запишемо рівняння

Ейлера:

F /

F // 0 .

Отримаємо 2 y

2 y / 0 ,

y // y 0 ,

y x C cos x C

sin x .

умов

y 0 0,

y T y

знаходимо

значення

, то допустимих екстремалей немає.

T k , k Z

y1 sinT

sin

. Якщо ж

T k

Складемо		рівняння Якобі:	//
			Fyy
u // u 0	при	умовах u 0 0, u / 0 1 .
C1 0; C2	1. Остаточно маємо u sin x . З
T , то умови Якобі виконуються, якщо

2; F

/ 2

;

2u 0

;

0; F /

Його

розв’язок -

u C1 cos x C2 s i xn

точкою x 0

спряженою є точка x . Якщо

, то порушуються

/ 2 0 . Отже,

F /

при 0 T функціонал досягає максимуму на кривій	y y	sin x	, при	T

	1 sinT
екстремуму немає.▪

§ 6.3. Варіаційні задачі на умовний екстремум.

Означення 1. Варіаційними задачами на	умовний екстремум називають задачі, в яких
потрібно знайти екстремум	функціонала I , якщо на функції, від яких

залежить функціонал, накладені деякі умови – зв’язки.

Дослідимо на екстремум функціонал

I y			b	f x, y
	,..., y				,..., y		, y	/	,..., y	/
	,..., y	n			,..., y	n	, y		,..., y
1		n		1		n	1			n
			a

(6.12)

від функцій yi x , i 1, n , на які накладено умови (зв’язки)

	j	x, y ,...,	y	n	0,	j 1, m,		m n
	j	1		n
і при граничних умовах
yi a yia ,				yi b yib ,			i 1, n .

Аналогічно як і при дослідженні на безумовний екстремум функції однієї змінної,

побудуємо функцію Лагранжа:

					/		/
f x, y		,..., y		, y	/	,..., y	/
f x, y		,..., y	n	, y		,..., y
	1		n	1			n

m		x		x, y
	j	x	j	x, y	,...,
	j		j	1
j 1

y	n

(6.13)

де j - є функціями досягається на тих

від незалежної самих кривих,

змінної

на яких

. Умовний екстремум функціонала I

реалізується безумовний екстремум

			b		m		b
функціонала	I	*		f	i	i dt		F dx .
		*

			a		i 1		a

Ейлера має вигляд

Для функції Лагранжа система рівнянь

0, i 1, n .

До цих рівнянь додаємо умови зв’язку

x, y ,..., y

0, j 1, m,

m n

і отримуємо систему m n рівнянь з m n невідомими

y1 ,...,

умов знаходимо значення

2n невідомих констант інтегрування.

Приклад. Знайти екстремум функціонала

y	n	,	,...,	m
	n	1		m

(6.14)

(6.15)

. З граничних

											y										dx
						I y				2							2			2
							, y					2	y	2	y	/	2	y	/	2
							, y						y		y			y

						1		2			1			2	1				2
										0
при	умові		зв’язку			y1 y2			2cos x 0						і	при			граничних умовах
y1		y2			1 .
	2			2
	2			2

▪ Запишемо функцію Лагранжа

y	0 1, y	2	0 1,
1		2

F y1

x y1 y

2 cos x .

Знайдемо частинні

похідні

2 y1

2 y

Система (6.14) матиме вигляд

2 y

В результаті отримуємо систему

F	2 y /	,	F	2 y / .
	2 y /	,		2 y / .
y /	1		y /	2
y /			y /
1			1

2 y		x 2 y			//	0,
					//
	1			1
		x 2 y2				0,
2 y2		x 2 y2				0,
					//
	y y			2 cos x 0,
	y y		2	2 cos x 0,
	1		2

y1 0 1, y2 0 1,

y		y			1
1	2		2	2
	2			2

Додамо перші два рівняння і введемо нову невідому функцію

	//	y2 0, y1 y2 z .
	2 y1 y2 2 y1	y2 0, y1 y2 z .
Тоді	маємо рівняння другого	порядку із сталими коефіцієнтами z // z 0 ,	розв’язок
якого	z C1 cos x C2 sin x . ;	y1 y2 C1 cos x C2 sin x . З граничних умов	знаходимо

значення сталих інтегрування C1

умову зв’язку y1 y2 2cos x 0,

0, C2

. Отже,

y1 y2

2sin x

остаточно знаходимо екстремаль

і, додавши до нього

y1 cos x sin x .y2 sin x cos x

Отже,

	f y12	y22 y1/ 2 y2/ 2 cos x sin x 2 sin x cos x 2		sin x cos x 2 cos x sin x 2	0
і	I екстр.	0 .▪
		Зв’язок (6.15) може залежати не лише від функцій, але і від їх похідних, тобто
зв’язки є у вигляді диференціальних рівнянь
		/	/	(6.16)
		x, y1 ,..., yn , y1	,..., yn 0 .	(6.16)

В цьому випадку також будують функцію Лагранжа (6.13), розв’язують системи (6.14) і

(6.16).

Зв’язки (6.15), які не містять похідних, називаються скінченими або

голономними, а зв’язки (6.16) – неголономними або диференціальними. Іноді рівняння зв’язку задаються в інтегральній формі і відповідні задачі називаються ізопериметричними.

Ізопериметричні задачі.

Це варіаційні задачі, в яких необхідно знайти екстремум функціоналу (6.12) при наявності так званих ізопериметричних умов

dx l

i 1, m,

,..., y

,... y

m n,

const

(6.17)

У вузькому сенсі ізопериметричними задачами називають задачі на знаходження геометричної фігури максимальної площі при заданому периметрі.

Запишемо функцію Лагранжа (6.13), де i - підінтегральні функції, і допоміжний

функціонал

			b
I
I	*
	*
			a
		f
	y
	y		j
			j

i i dt . Тоді рівняння Ейлера матимуть вигляд:

i 1

j 1, n

i 1

Довільні

y j a y ja ,

сталі інтегрування y j b y jb , j 1, n

C1 ,..., C2n

визначаються з граничних умов

і з ізопериметричних умов (6.17).

y 0

Приклад. Знайти допустимі екстремалі функціоналу

0, y 1 5		1
	і при обмеженні		xy dx 1.
	і при обмеженні		xy dx 1.
		0

1		2
y	/	2	dx
	/

0

при граничних умовах

▪ Запишемо функцію Лагранжа F y / 2 xy , і рівняння Ейлера

x 2 y	//	0
	//

y		x
		3
	12

C x C	2
1

З граничних умов і умови обмеження маємо

									y 0 0	C	2		0;
											2
									y 1 5			C			5;
									y 1 5			C			5;
										12			1
										12
1		1											C
						3	1	2					C			2
	xy dx		x		x		1	2	dx 1					C		2
	xy dx		x		x		C x C		dx 1				1	C
													1
0		0		12						60			3
0		0

Отже, C1	0, C2	0, 60	і допустимою екстремаллю є крива	y 5x	3	.▪

Найпростіша варіаційна задача з рухомими кінцями.

Нехай	x0 , x1 - довільні точки,			такі,	що a x0 x1 b , причому вони рухаються
вздовж двох заданих ліній y 0 x				і y 1 x ,а		y y x	належить класу неперервно-
диференційованих на відрізку			a,b функцій. Знайдемо екстремум функціонала
	x
	1
	I y F x, y, y	/	dx
	I y F x, y, y		dx
	x
	0
при умовах	y x0 0 x0 ,		y x1 1 x1 .		Така	задача	називається найпростішою

варіаційною задачею з рухомими кінцями.

Теорема. Нехай крива

y x

надає екстремуму функціоналу

x
1
I y F x, y, y	/	dx
I y F x, y, y		dx
x
0

при

вказаних умовах. Тоді крива

y x

є екстремаллю і для неї виконуються:

-	рівняння Ейлера:
-	умови трансверсальності :
	F	/	y	/	F	/			0
		/		/		/
		1				y	/	x x
						y		x x
								1

F /		d	F // 0	;
F /			F // 0	;
y		dx	y
			y

F /	y / F //			0
0

y	x x0
	x x0
.

Якщо один з кінців закріплений, тоді з умов трансверсальності виконуватиметься лише одна. Якщо гранична точка може переміщатися лише вздовж вертикальної прямої,

то замість умов трансверсальності маємо умову

F	/
	/
	y	/
	y		x x
			x x
			1

Таким чином, для розв’язування найпростішої варіаційної задачі з рухомими кінцями потрібно:

1.Написати і розв’язати відповідне рівняння Ейлера. В результаті отримаємо

	сімейство екстремалей y f x,C1 ,C2 , яке залежить від двох параметрів C1 ,C2 .
2.	З умов трансверсальності і умов	y x0 0 x0 ,	y x1 1 x1	визначити
	сталі C1 , C2 , x0 , x1 .
3.	Обчислити екстремум функціонала	I y .

Приклад. Знайти допустимі екстремалі функціоналу

якщо

y(0)

		x	1 y	/	2
	I y	1	1 y	/
			y		dx ,
					dx ,
		0
		0
0	, а точка x1 , y1		може переміщатися вздовж прямої

F	/

y
1

▪ Запишемо рівняння Ейлера для функції

/ y

, звідки

/ y

0 ,

F /

F F

/ 2

1 y

		1 y						2
							/
				y
				y
F		/		y	/			1
F		/		y	/
		y	/					C
		y

y	1 y					/	2
y	1 y

C ,

/ x

y	2

0 :

1 y	/	2
		2

C	2

y 2 y 2 y / 2 C 2 ,
	yy/ C 2 y 2 ,

ydy
C	2	y	2

	C	2	y	2
		2		2

C	2	y	2

C 2 1

2C1 x

x	2

. З умови

y(0) 0

знаходимо, що

. Тому

y	2

2C1 x

x	2

Врахувавши,

F			/	y		/	F	/
			/			/		/
								y	/
								y

	1 y			/ 2	1
	1 y

		y

що y x1 x1 :				x x 3;
	0 , отримуємо
x x
	1
y /		y /		1 y /


	y 1 y / 2			y 1 y / 2
			x x1		x x1

/	1; з умови трансверсальності
x

0	y /	1.
		x x1

Продиференціювавши			рівність	y 2 2C x x2		:	2 yy/ 2C		2x ;	yy/ C	x ;
				1			1			1
y x	1 C	x . Оскільки y x		x 3	, то C		3 . Отже, y 2	6x x 2		.▪
1	1	1	1	1	1

§ 6.4. Прямі методи варіаційного числення.

Як ми вже зауважили, варіаційна задача зводиться до розв’язування системи диференціальних рівнянь при заданих граничних умовах. Але не кожне диференціальне рівняння можна розв’язати аналітично. Тому широкого застосування при розв’язуванні теоретичних і прикладних задач набули наближені методи.

Наближені числові методи, які дають можливість безпосередньо розв’язувати варіаційні задачі, називаються прямими методами варіаційного числення.

Основна ідея прямих варіаційних методів полягає в тому, що варіаційна задача розглядається як гранична для деякої задачі на екстремум функцій скінченого числа змінних, яка в свою чергу розв’язується звичайними методами. Далі граничним переходом отримується розв’язок відповідної варіаційної задачі.

Розглянемо функціонал

I y

b F x,

y	/

Припустимо, що функція y x розкладається в ряд, наприклад степеневий

y x an x n

n 1

або тригонометричний

	a
y x	a	0	an	cosnx bn
		0
	2
	2		n 1
			n 1

або будь-який функціональний ряд

sin

y x

Cn n

n 1


де	n x			- задані функції. Якщо функціональний ряд є рівномірно збіжним, а функція
F x,		y, y	/	допускає розклад в ряд за функціями n x , то отримаємо функціонал

I y C1 , C2 ,..., Cn ,...

від нескінченої множини незалежних змінних. Отже, варіаційні задачі – це звичайні задачі на екстремум з нескінченим числом змінних. В прямих методах варіаційного числення

вибирається скінчене число функцій		i x ,	i 1, n	і розв’язується задача на екстремум із
скінченим числом змінних	C1 , C2	,..., Cn	. Потім, якщо відомий загальний вигляд
коефіцієнтів Cn , здійснюють	граничний		перехід	при n і отримують розв’язок
варіаційної задачі.

1. Метод Рітца.

Ідея методу Рітца полягає в тому, що значення розглядаються не на довільних допустимих кривих даної можливих лінійних комбінаціях

деякого функціонала

варіаційної задачі, а лише

на

y	n
	n

n ai i

i 1

Нехай треба знайти екстремум функціонала

b
I y F x, y, y / dx,	y a ya , y b yb
a

в деякому класі функцій.

Розглянемо n - параметричну сім’ю функцій

n
y n, x 0 x Ci i	x ,
i 1

(6.18)

(6.19)

де

0 a ya , 0 b yb , i a i a 0

i 1, n ,

послідовність

лінійно-

незалежних функцій, які називаються координатними.

На

функціях

y n, x

заданий

функціонал перетворюється у функцію n

змінних

I y n, x C1 ,..., Cn .

Вибираємо

ті значення

C1 ,..., Cn , при яких функція

має екстремум. Для цього

розв’язуємо систему ( в основному нелінійних ) рівнянь відносно Ci :

знайдені

значення

підставляємо

(6.19).

більшості випадків

отримана

послідовність y n, x

мінімізуючою,

тобто такою, для

якої

послідовність значень

функціонала I y збігається до мінімуму або до нижньої межі значень функціонала

I y .

Але з того, що

lim I y n, x min I y x

ще не випливає, що lim y n, x y x . Мінімізуючи послідовність може і не прямувати до n

функції, що реалізує екстремум в класі допустимих функцій.

Умови, які забезпечують існування абсолютного мінімуму, у випадку, коли шукається екстремум функціонала (6.18) мають вигляд:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025577.02 Кб3Lektsiyi_MOD.doc
#
01.04.2025350.21 Кб0Lektsiyi_PAFV_1_2.doc
#
01.04.2025540.16 Кб0Lektsiyi_PAFV_3_4.doc
#
01.04.2025695.81 Кб0Lektsiyi_PAFV_5_6.doc
#
01.04.202544.02 Кб0Lektsiyi_Soltisik.docx
#
12.02.20162.03 Mб19Lektsiyi_Ukhanska_1.pdf
#
13.08.2019855.04 Кб21Lektsiyi_z_logistiki.doc
#
24.11.201944.32 Кб1Lektsiyi_z_menedzhmentu_antimonopolnoyi_diyalno...docx
#
01.05.202561.19 Кб0Lektsiyi_z_psikhologiyi.docx
#
13.08.2019621.06 Кб5Lekz 4_5_6 dlia pidstrahovky.doc
#
08.08.2019144.38 Кб4Lekzia-3.doc