Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsiyi_Ukhanska_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

2.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Отже, щоб знайти розв’язок задачі квадратичного програмування (5.17)-(5.19),

необхідно:

1.Записати функцію Лагранжа.

2.Необхідні і достатні умови існування сідлової точки для функції Лагранжа записати у вигляді (5.22).

3.Методом штучного базису розв’язати задачу (5.22) і або знайти координати сідлової точки для функції Лагранжа, або встановити її відсутність.

4.Записати оптимальний розв’язок задачі і знайти значення цільової функції.

Приклад. Знайти максимальне значення функції

f		2x		4x			x	2	2x	2
								2		2
			1			2	1			2
при умовах
x 2x				2	8,
		1		2
	2x		x		12,
	2x		x	2	12,
		1		2
x1		, x2	0 .

Функція		f	є вгнутою, оскільки вона є сумою лінійної функції												f1		2x1 4x2 ( яку
можна розглядати			як		вгнуту				) і квадратичної форми		f	2	x2	2x2		,	яка є від’ємно-
												2	1		2

визначеною і, значить, також вгнутою. Система обмежень містить лише лінійні нерівності. Можемо застосувати теорему Куна-Такера. Запишемо функцію Лагранжа

L 2x	4x		x	2	2x	2		8 x
				2		2
1		2	1			2	1	1

Необхідні і достатні умови існування сідлової виразів (5.22):

L		2	2x				2					0,
		2	2x				2			2		0,
x			1		1					2
x
1
1
L		4	4x		2							0,
		4	4x	2	2						2	0,
x2				2				1			2
x2
L
L		8	x 2x					0,
		8	x 2x					0,
			1			2
			1			2
1
L
L		12 2x x							0;


					1			2
					1			2
	2

2x	2		2	12 2x
	2		2	1

точки для функції

x	2
	2
	L

подамо у вигляді

(5.23)

	x			L			x				2 2x															2						0,
	x						x			1	2 2x															2				2		0,
		1		x						1											1				1					2
				x
					1
					1
	x				L			x						4 4x											2							0,
	x		2					x				2		4 4x									2		2						2	0,
			2	x2								2											2					1			2
				x2																																(5.24)
				L										8													0,									(5.24)
				L														x				2x
																		x				2x
		1									1										1					2
		1									1										1					2
					1
					L										12 2x														0;
					L																				x
																									x
			2										2											1				2
			2										2											1				2
						2
			0					j												,	i				0				i				.
x j			0					j							1,2					,	i				0				i		1,2		.			(5.25)
Перепишемо систему (5.23) у вигляді:
2x									2								2			2,
			1					1									2
	4x				2															4,
	4x			2	2													2		4,
				2					1									2
	x			2x					8,
	x			2x				2	8,
		1						2
2x					x			2	12.
			1					2
Введемо додаткові невід’ємні змінні																													v1 , v2 , w1 , w2						і перейдемо від нерівностей (5.23) до
рівностей
2x									2								2			v				2,
			1					1									2				1
	4x				2															v				4,
	4x			2	2													2		v		2		4,
				2					1									2				2														(5.26)
	x			2x					w									8,																		(5.26)
	x			2x				2	w									8,
		1						2							1
2x					x			2	w							2			12.
			1					2								2
x1 , x2 , 1 , 2 , v1 , v2 , w1 , w2																												0 .
Враховуючи рівності (5.22)3,4 , запишемо
v1 x1					0,				v2 x2										0,					w1 1				0,				w2 2		0 .		(5.27)

Для цього введемо в перше і друге рівняння системи (5.26) додаткові невід’ємні змінні

y1 , y2 і розглянемо задачу лінійного програмування

F My				My			2	max
			1
2x1 1 2 2 v1 y1 2,
		2 1 2					v2 y2		4,
4x2
	2x2			w1 8,					(5.28)
x1
2x		x	2	w	2	12.
	1

x1 , x2 , 1 , 2 , v1 , v2 , w1 , w2 , y1 , y2 0 .

Результати обчислень записуємо у симплекс-таблиці ( при обчисленнях враховуємо

рівності (5.27))

				0	0	0	0	0	0	0	0	-М	-М
№	Б	Сб	Р0
№	Б	Сб	Р0	Р1	Р2	P	P	P	P	P	P	P	P
						P	P	P	P	P	P	P	P
						1	2	v1	v2	w1	w2	y1	y2

1	P	-M	2	2	0	1	2	-1	0	0	0	1	0
1	y1	-M	2	2	0	1	2	-1	0	0	0	1	0

2	P	-M	4	0	4	2	-1	0	-1	0	0	0	1
2	y2	-M	4	0	4	2	-1	0	-1	0	0	0	1

3	P	0	8	1	2	0	0	0	0	1	0	0	0
3	w1	0	8	1	2	0	0	0	0	1	0	0	0

4	P	0	12	2	-1	0	0	0	0	0	1	0	0
4	w2	0	12	2	-1	0	0	0	0	0	1	0	0
5			0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
			-6									0
6			-6	-2	-4	-3	-1	1	1	0	0	0	0


1	P	-M	2	2	0	1	2	-1	0	0	0	1	0
1	y1	-M	2	2	0	1	2	-1	0	0	0	1	0

2	P	0	1	0	1	0.5	-0.25	0	-0.25	0	0	0	0.25
2	2	0	1	0	1	0.5	-0.25	0	-0.25	0	0	0	0.25

3	P	0	6	1	0	-1	0.5	0	0.5	1	0	0	-0.5
3	w1	0	6	1	0	-1	0.5	0	0.5	1	0	0	-0.5

4	P	0	13	2	0	0.5	-0.25	0	-0.25	0	1	0	0.25
4	w2	0	13	2	0	0.5	-0.25	0	-0.25	0	1	0	0.25
5			0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
5			0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
6			-2	-2	0	-1	-2	1	0	0	0	0	1


1	P	0	1	1	0	0.5	1	-0.5	0	0	0	0.5	0
1	1	0	1	1	0	0.5	1	-0.5	0	0	0	0.5	0

2	P	0	1	0	1	0.5	-0.25	0	-0.25	0	0
2	2	0	1	0	1	0.5	-0.25	0	-0.25	0	0

3	P	0	5	0	0	-1.5	-0.5	0.5	-0.25	1	0
3	w1	0	5	0	0	-1.5	-0.5	0.5	-0.25	1	0

4	Pw	0	11	0	0	-0.5	-2.25	1	-0.25	0	1
	2
5			0	0	0	0	0	0	0	0	0

Маємо	0	0	1,	w1		5, w2
	x1 1,	x2
0	0	0	, то		X 0 , 0
1 w1	0, 2 w2
вихідної задачі. Отже,				X	*	1;1

0	0	v1 v2 0 . Оскільки		0
11, 1 2				x1 v1
1,1, 0, 0	є	сідловою точкою	функції
- оптимальний план задачі і f max			3.

0, x	0	v		0,
	2		2

Лагранжа для

РОЗДІЛ 6. ЕЛЕМЕНТИ ВАРІАЦІЙНОГО ЧИСЛЕННЯ.

§ 6.1. Основні поняття варіаційного числення.

1. Функціонал.
Означення 1.	Якщо кожній функції y f x	певного визначеного класу ставиться у
відповідність за деяким законом визначене числове значення змінної I , то цю
змінну називають функціоналом від однієї функціональної змінної і
записують у вигляді
	I I y I y x I f x	(6.1)
Тут функція	y є незалежною змінною для	функціонала. Областю визначення для

функціонала є визначений клас функцій. Наприклад, для функції	y f x , визначеної на
a,b і інтегрованої на a,b , функціоналом може бути

I y

y	3	dx

Вибираючи конкретні функції (	y x	2	, y sin,... ) і підставляючи їх в	I y , отримаємо

різні числа. Сукупність цих чисел і дає нам значення функціонала. Область визначення цього функціонала – клас інтегрованих функцій, визначених на a,b .

Серед функціоналів зустрічаються і функціонали від багатьох змінних. Якщо

скінченому наборі функцій

f x1 ,

f x2 ,..., yn

f xn

з визначеного класу

функцій ставиться у відповідність за деяким законом визначене числове значення змінної

I , то I називається функціоналом від n функціональних змінних і записують

I y	,...,
1

y	n

Основним завданням варіаційного числення є встановлення умов, при яких

функціонали досягають екстремуму.

2. Варіація функції і приріст функціонала.

Для функціонала I I y , роль аргументу відіграє функція y x . Тому приріст

аргументу функціонала можна визначити по аналогії з приростом аргументу функції як різницю між двома різними функціоналами при одному і тому ж аргументі ( x )

самих функцій.

Означення 2. Приріст аргументу функціонала називається варіацією функції і

позначається y
y y2 x y1 x f2 x f1 x	(6.2)

Якщо задано функціонал від декількох функціональних змінних, то варіацій функції буде стільки, скільки є функціональних змінних:

I I y, z,u ; y y2 y1 , z z2 z1 , u u2 u1 .

Нагадаємо, що приріст функції має вигляд y y x x y x .

Означення 3. Приростом функціонала			I y від однієї змінної називається величина
I y I y y I y			(6.3)
Наприклад, для функціонала I y	b	y x dx його приріст дорівнює

	a
b	b
I y y y dx ydx

b ydx

a	a	a
У випадку функціонала від декількох змінних можна побудувати повні і частинні
прирости функціонала. Так для функціонала			I I y, z,u повний приріст має вигляд

I y, z,u а частинний I y, z,u



y y, z

z,u







Отже,

у випадку функціонала від n змінних матимемо повний приріст і n частинних

приростів.

Неперервність функціонала.

Означення 4.

Функціонал

I y

називається неперервним, якщо малій зміні аргументу

y x

відповідає мала зміна функціонала I y .

Уточнимо поняття малої зміни функції або близькості функцій.

Говорять, що криві

y x , y1 x , задані на відрізку a,b , близькі в сенсі близькості

нульового порядку, якщо

y x y1 x малий на a,b . Геометрично це означає, що криві

на відрізку a,b близькі за координатами. Криві

y x , y1 x , задані на

відрізку a,b ,

близькі в

сенсі близькості

першого порядку,

якщо

на

a,b

малі

y x y1 x

Геометрично

це

означає, що криві на

відрізку

a,b

близькі як

за

координатами так і за напрямками дотичних у відповідних точках.

Аналогічно, криві y x , y1 x , задані на відрізку a,b , близькі в сенсі близькості k-

го порядку, якщо

y x y x ,

y / x y / x , ...,

y k x y k x

малі на a,b . Якщо

криві є близькі в сенсі близькості k-го порядку, то вони тим більше близькі в сенсі близькості будь-якого меншого порядку.

	В	B
	В
А		A
А


0-го порядку				1-го порядку
Тепер можна уточнити поняття неперервності функціонала.
Означення 5. Функціонал		I y ,	визначений в класі		M	функцій	y x , називається
неперервною при			y y0 x	в сенсі близькості n-го порядку,				якщо для
0	таке число 0 ,			що для всіх допустимих функцій				y y x ,

що задовольняють умови

y x y		x ,	y	/	x y	/	x	, ...,
				/		/
	0					0

x , виконується нерівність

I y x I y0

x .

x y0

Лінійний функціонал.

Означення 6. Функціонал L y називається лінійним, якщо він задовольняє умови:

L y1 x y2 x L y1 x L y2 x ,

L C y x C L y x .

L y x

x y x dx є

Наприклад,

функціонал

лінійним,

x 2 dx не є лінійним.

L y x y / x

y /

Зауважимо, що лінійний функціонал від n змінних задовольняє умови:

L y1 x ... yn x L y1 x ... L yn x ,

L C y1

x ,..., C yn x C L y1 x ,..., yn x .

Варіація функціонала.

Означення 7. Якщо приріст функціонала I

(6.3) можна подати у вигляді

I L y, y y, y max y ,

(6.5)

де L y, y лінійний по відношенню до y

функціонал,

y, y 0 при

max y 0 ,

то

лінійна по

відношенню

до y частина приросту

функціонала,	тобто	L y, y ,	називається варіацією	функціонала і
позначається	I .	В цьому	випадку функціонал	I y	називається

диференційованим в точці y x .

При дослідженні функціоналів варіація функціонала відіграє таку ж роль, як і диференціал при дослідженні функцій. Не для кожного функціонала з його приросту можна виділити головну лінійну частину, але варіація існує в сенсі іншого означення, а

саме:

I	d	I y x y

	d	0

(6.6)

Таким чином, якщо існує варіація функціонала в сенсі головної лінійної частини функціонала, то існує варіація в сенсі похідної за параметром при початковому значенні параметра, і ці два означення є еквівалентні.

Приклад.

Знайти варіацію

функціонала

I y

y	2	dx

▪ Знайдемо приріст функціонала

bI I y y I y y

	b		b
2	dx y	2	dx 2 y
y	dx y		dx 2 y

b ydx

y	2	dx

Згідно з означенням варіації функціонала I 2 y ydx (другий доданок є нелінійним).

Знайдемо тепер варіацію функціонала, використовуючи співвідношення (6.6):

I y x y

y y

2y y

2 y ydx.

▪

Введену так варіацію називають варіацією першого порядку (по аналогії з диференціалом першого порядку).

		Варіацією функціонала від n змінних
		I L y1 ,..., yn , y1 ,..., yn 1 max y1			... n max yn ,
де	i	0 , є головна, лінійна по відношенню до варіацій функцій				y ,..., y		,
	i	max yi 0				1	n
частина приросту функціонала:
		I	L y1 ,..., yn , y1 ,..., yn .
		Введемо поняття	функціонала	більш	високого порядку. Розкладемо функцію
I y y в ряд Тейлора за степенями				в околі точки 0 :

I y y I y	d		1	d		2
I y y I y		I y dy						I y dy				2
							2
	d	0	2!	d			2				0
	d	0	2!	d			d				0
					1		d		3
											I y dy		3	...
										3
					3! d					3		0
					3! d							0

Вирази в фігурних дужках є варіаціями першого, другого і т.д. порядків. Оскільки вираз у

перших фігурних дужках є варіацією I , у других -

I ,

і т.д., а

I y y I y I , то,

поклавши

1, отримаємо

I y I y y

2 I y y

3 I y y ... ,

причому

I ,

I . Аналогічно для функціонала двох змінних маємо

I y, z

I y y, z z

I 2 2

I 2 I ...

(6.7)

§ 6.2. Варіаційні задачі на безумовний екстремум.

1. Необхідна умова екстремуму.

Означення 1. Функціонал I y x досягає якщо значення функціонала

на кривій

I y x

на

y y0 x	максимуму (мінімуму),
будь-якій,	близькій до	y y0 x

кривій не більше (не менше), ніж

I y	0

, тобто

y	0

I I y x I y0 x 0 0 .

Якщо I 0 0 , причому I 0 лише при

x досягається строгий максимум (мінімум).

y	0

, то говорять, що на кривій

Теорема 1. Якщо функціонал

y y0 x , де y x

при y y0 x I

I - 0

y , який має варіацію, досягає екстремуму на кривій внутрішня “точка” області визначення функціонала, то

Доведення. ► При фіксованих

y0 x і

I y0 x y -

функція від

. За

умовою

теореми

при

має

екстремум, значить

тобто

I y0

x y

або I 0 .◄

Означення 2. Функціонал I y x досягає на кривій

y y0 x сильного

відносного

максимуму

(мінімуму),

якщо

для всіх

допустимих

кривих

y y x ,

близьких до

нерівність

y	0	x
	0

в сенсі близькості нульового порядку, виконується

I y x I y	0	x
	0

I y x

I y	0

Означення 3. Функціонал

максимуму

близьких до

нерівність

I y x

досягає на кривій

(мінімуму), якщо для всіх y0 x в сенсі близькості


y y0 x	слабкого	відносного
допустимих кривих			y y x ,
першого	порядку,	виконується

I y x I y0 x		I y x I y0 x .
Якщо функціонал досягає на кривій		y y0 x сильного екстремуму, то він досягає і

слабого екстремуму, але не навпаки.

Означення 4. Функції, на яких існує варіація функціонала, називаються допустимими.

Якщо на цих функціях варіація функціонала дорівнює нулю, то функції називаються екстремалями або стаціонарними функціями ( остання назва аналогічна поняттю стаціонарної точки для функції ).

У багатьох задачах клас допустимих функцій обмежують додатковими умовами: y a ya , y b yb ,

де ya , yb - задані. Оскільки необхідна умова існування екстремуму функціонала повинна виконуватися для будь-якої варіації функції, то y a 0, y b 0 .

2. Диференціальне рівняння екстремалей.

Дослідимо на екстремум функціонал

I y

b F x,

y	/

За формулою (6.7) варіація цього функціонала дорівнює

	b	F		F
	b
I			y			y		dx .
							/
		y		y	/
	a	y		y

Застосуємо до другого доданка формулу інтегрування по частинах :

2 F

; du d

y /

y // dx

x y

y y

y /

y dx

dv y / dx;

d y dx d y ;

v y

2 F

/ y

/ 2

y dx

a x y

y y

оскільки

F b

y b

F a

y a

y dx

y a 0, y b 0 .

Зауважимо,

що останні умови

означають те,

що всі

допустимі криві проходять через точки

a, y	a
	a

та

y	b

. Якщо всі допустимі криві

проходять через дві різні нерухомі точки, то така задача називається варіаційною задачею з нерухомими кінцями. Отже, варіація функціонала дорівнює

a y

ydx

y dx

або

dx y

y dx .

x y

y y

З необхідної умови існування екстремуму

y dx 0 .

x y

y y

Це співвідношення повинне виконуватись для варіації будь-якої функції в інтервалі a,b ,

яка належить до класу допустимих функцій. А це можливо лише тоді, коли вираз у квадратних дужках в останньому співвідношенні дорівнює нулю для всіх x a,b , тобто

F	d	F		0
				0
y		y	/
y	dx	y

або

(6.8)

(6.9)

x y

y y

Екстремалі

y y x,C1 ,C2

слід шукати

серед розв’язків диференціального

рівняння (6.8) або (6.9), які є диференціальними рівняннями другого порядку. Рівняння

(6.8) (або (6.9)) називають рівнянням екстремалей або рівнянням Ейлера.

Отже, екстремум функціонала може досягатися тільки на екстремалях, для

знаходження яких потрібно проінтегрувати рівняння (6.8) або (6.9). Довільні сталі								C1 ,C2	,
які входять в загальний розв’язок, знаходимо з умов y a ya ,							y b yb .
Приклад. Знайти екстремалі функціоналу
2				dx,	y 0 0, y	2 1.
I y y y				dx,	y 0 0, y	2 1.
	/	2	2
	/		2
0

▪ Тут F x, y, y / y / 2	y 2 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025577.02 Кб3Lektsiyi_MOD.doc
#
01.04.2025350.21 Кб0Lektsiyi_PAFV_1_2.doc
#
01.04.2025540.16 Кб0Lektsiyi_PAFV_3_4.doc
#
01.04.2025695.81 Кб0Lektsiyi_PAFV_5_6.doc
#
01.04.202544.02 Кб0Lektsiyi_Soltisik.docx
#
12.02.20162.03 Mб19Lektsiyi_Ukhanska_1.pdf
#
13.08.2019855.04 Кб21Lektsiyi_z_logistiki.doc
#
24.11.201944.32 Кб2Lektsiyi_z_menedzhmentu_antimonopolnoyi_diyalno...docx
#
01.05.202561.19 Кб0Lektsiyi_z_psikhologiyi.docx
#
13.08.2019621.06 Кб5Lekz 4_5_6 dlia pidstrahovky.doc
#
08.08.2019144.38 Кб4Lekzia-3.doc