Lektsiyi_Ukhanska_1

3. Другий крок повторюємо доти, доки не буде знайдено плану, для якого не можна скласти цикл. Клітини, викреслені на попередніх кроках, у наступних кроках участі не беруть.

Приклад. Визначити оптимальний план перевезень при умові мінімального часу транспортування, якщо

Опорний розв’язок задачі, знайдений методом північно-західного кута, має вигляд

2.Починаючи з клітинки (3,5) будуємо цикл, в який входять клітинки (3,5), (2,5),

(2,3), (3,3). Клітинку з індексом (3,5) приймаємо за від’ємну. ЇЇ необхідно

50

Тепер клітинка (3,5) повністю вільна. Розрахунок починаємо знову з першого кроку.

2-й крок. На цьому кроці необхідно би було розвантажити клітинку (2,5), але для неї неможливо побудувати цикл розвантаження (якщо зняти якесь число з клітинки

(2,5), то тоді для збереження балансу в 5 стовпці необхідно додати таке саме число; але

51

§ 3.6. Транспортні задачі з деякими ускладненнями в їх постановці.

При визначенні оптимальних планів таких задач припускають, що вартість перевезення

умові знаходять розв’язок транспортної задачі відомими методами. При такому припущенні виключається можливість при оптимальному плані транспортної задачі

Для отриманої нової транспортної задачі знаходять оптимальний план, який визначає оптимальний план вихідної задачі.

При визначенні оптимального плану такої транспортної задачі вважають, що запаси

оптимальний план нової транспортної задачі, на основі якого і визначають розв’язок вихідної задачі.

стовпець, тобто вводять додатковий пункт призначення . У даному стовпці записують ті ж

додатковому стовпці в цьому рядку вартості вважають рівними деякому як завгодно

оптимальний план або встановити нерозв’язність вихідної задачі. ( Вихідна транспортна задача має розв’язок лише в тому випадку, коли для неї існує хоча б один опорний план.

Цю задачу можна розв’язати іншим способом. Враховуючи обмеження xij ij ,

будують методом мінімального елемента опорний план. При цьому, якщо величина числа,

яке записується у відповідну клітинку на даному кроці, визначається лише обмеженням xij ij , то надалі з розгляду виключають лише заповнену клітинку. В інших випадках із розгляду виключають або рядок або стовпець.

Якщо в результаті побудови плану поставок усі наявні у пунктах постачання запаси розподілені і потреби пунктів призначення задоволені, то отримано опорний план транспортної задачі.

53

РОЗДІЛ 4. ДИСКРЕТНЕ ПРОГРАМУВАННЯ.

(ЗАДАЧІ ЛІНІЙНОГО ЦІЛОЧИСЕЛЬНОГО ПРОГРАМУВАННЯ).

§ 4.1. Загальна задача цілочисельного програмування.

Значне місце в реальних умовах займають задачі математичного програмування, в

яких на змінні накладено умови цілочисельності. Прикладом таких задач є задача про призначення, задача про розкрій матеріалу та ін. У цьому розділі розглядатимуться лише лінійні задачі цілочисельного програмування.

Загальна математична модель таких задач формулюється так: Знайти екстремум

(мінімум чи максимум) лінійної функції при обмеженнях

називається повністю цілочисельною. Застосувати загальні методи лінійного програмування безпосередньо до розв’язання задач лінійного цілочисельного програмування не можна, бо здебільшого вони дають дробові розв’язки, а заокруглення компонент до найближчих цілих розв’язків може не лише відвести нас від оптимального плану, але й вивести за межі множини планів.

Задача про призначення. Нехай для виконання n робіт виділено n працівників,

причому за кожним видом роботи можна закріпити лише одного працівника. Відома

полягає в тому, щоб так закріпити працівників за роботами, щоб загальна ефективність виконання робіт була б максимальною. Математична модель такої задачі має вигляд

54

Методи цілочисельної оптимізації можна поділити на три основні групи: а) метод відтинання, який зводить розв’язування задачі цілочисельного лінійного програмування до розв’язування послідовності задач лінійного програмування (метод Гоморі); б) ком-

бінаторні методи, суть яких полягає у спрямованому переборі точок допустимої множини

(метод гілок і меж); в) наближені методи.

§ 4.2. Метод Гоморі.

Послідовність розв’язування задачі

цілочисельного лінійного програмування методом Гоморі.

1.Знаходимо розв’язок задачі (4.1)-(4.3) без врахування умови цілочисельності.

2.Якщо оптимальний план цілочисельний, то задача розв’язана. У протилежному

найбільшою дробовою частиною складаємо додаткове обмеження, яке називають нерівністю Гоморі

де aij* , bi* - коефіцієнти системи обмежень, взяті з останньої симплекс-таблиці.

3.До обмежень задачі додаємо вимогу цілочисельності (4.5), розв’язуємо розширену задачу лінійного програмування двоїстим симплекс-методом і повертаємось до кроку 1.

4.Процес повторюємо доти, доки не отримаємо цілочислового розв’язку або

симплекс-таблиці не покажуть, що задача не має розв’язку.

Приклад. Виділено 20 тис. грн. на придбання обладнання для нової виробничої дільниці, яке може бути розміщене на площі, не більшій, ніж 38 м2. Підприємство може замовити обладнання двох типів A і B , причому для типу A : вартість обладнання – 5

55

тис.грн., потреби в площі – 8 м2, випуск продукції за зміну – 7 тис.од.; для типу B :

вартість обладнання – 2 тис.грн., потреби в площі – 4 м2, випуск продукції за зміну – 3

тис.од. Необхідно розрахувати оптимальний варіант придбання обладнання, що забезпечує максимальний прибуток.

пункту 2. Нецілочисельному плану відповідає обмеження ( яке ми отримуємо з рядка

P2 ): 0 x1 1 x2 2 x3 54 x4 152 . Запишемо нерівність Гоморі

56

Додаємо обмеження Гоморі до обмежень початкової задачі і отриману розширену задачу знову розв’язуємо симплекс-методом. Для зменшення обчислень ми використаємо канонічну форму останньої симплекс-таблиці:

x j Z .

Канонічну форму останньої задачі знайдемо двоїстим симплекс-методом:

Оскільки в останньому рядку симплексної таблиці немає від’ємних чисел, то план є оптимальним ( він є цілочисельним )

57

частина першої компоненти оптимального плану. В результаті із задачі 1 формулюємо

результаті розв’язування однієї із задач одержимо нецілочисельний оптимальний план,

перша компонента плану дробова, то з області допустимих розв’язків виключаємо смугу

59