Lektsiyi_Ukhanska_1

2. Метод мінімального елемента ( метод найменшої вартості).

Метод найменшого елемента відрізняється від попереднього лише послідовністю заповнення клітинок. У попередньому випадку ми не звертали уваги на вартість перевезень. Тут ми починаємо заповнювати таблицю з тієї клітинки, в якій вказана мінімальна вартість перевезень на даному етапі оптимізації. Розглянемо як працює цей метод на попередньому прикладі.

m n 1 3 5 1 7 ,

L 1 53 3 12 2 27 1 21 2 20 2 22 4 18 320од.

40

Коротко ознайомимося ще з двома методами пошуку опорного плану.

3. Метод апроксимації Фотеля.

При визначенні опорного плану транспортної задачі методом апроксимації Фотеля на кожній ітерації у всіх стовпцях і всіх рядках знаходять різницю між двома записаними в них мінімальними вартостями перевезень. Ці значення записують у спеціально виділені для цього рядки і стовпці в таблиці умов задачі. Серед знайдених різниць вибирають мінімальну. У рядку ( стовпці ), якому відповідає ця різниця, знаходять найменшу вартість перевезення і цю клітинку заповнюють на даній ітерації.

Якщо мінімальна вартість перевезень є однаковою для декількох клітин даного рядка

(стовпця ), то заповнювати таблицю починають з тієї клітинки, яка розміщена у стовпці

(рядку ), що відповідає найбільшій різниці між двома найменшими вартостями, які є в даному стовпці (рядку).

4. Метод подвійної переваги.

Якщо таблиця вартостей має значні розміри, то перебір всіх елементів таблиці є громіздким. У цьому випадку зручно застосовувати метод подвійної переваги.

У кожному стовпці відзначаємо знаком (v) клітинку з найменшою вартістю. Те саме робимо у кожному рядку. В результаті деякі клітинки будуть мати подвійну позначку (vv).

Це вказує на те, що в таких клітинках є мінімальна вартість як по рядку, так і по стовпцю.

Записуємо в такі клітинки максимально можливі об’єми перевезень, виключаючи кожен раз із розгляду відповідні рядки чи стовпці. Далі розподіляємо перевезення по клітинках,

поміченими одним знаком (v). У незаповненій частині таблиці розміщуємо перевезення за найменшою вартістю.

§ 3.3. Критерій оптимальності опорного плану.

Метод потенціалів розв’язування транспортної задачі.

41

значення лінійної форми для якого є меншим. Знову виконуємо пункти 2, 3, 4 доки не отримаємо оптимальний план.

Перехід до покращеного плану задачі.

декількох пар індексів i, j , то вибираємо ту пару, якій відповідає найменша вартість перевезень. Цю клітинку потрібно вводити в базис і саме з неї починати побудову так званого циклу ( перерахунок поставок ).

Означення 1. Циклом називається ламана лінія, вершинами якої є базисні клітинки, а

ланками є перпендикулярні відрізки, що виходять із вершин під прямим кутом ( одна по горизонталі, а друга по вертикалі ).

42

Якщо ланки ламаної, яка утворює цикл, перетинаються, то точка самоперетину не є

вершиною.

Означення 2. Цикл, одна вершина якого лежить у вільній клітинці, а всі інші – в базових,

називають циклом перерахунку.

Починаючи із клітинки k,l , вершини циклу перерахунку ( а разом з ним і

клітини) почергово позначають знаками “+” і “-“. Серед клітин із знаком “-“ вибираємо ту,

досягається для декількох пар індексів, то вибираємо ту клітинку, якій відповідає максимальна вартість перевезень cij . Клітинку з індексами s, t виводимо з базису.

Компоненти нового опорного плану визначаємо за формулами

Розглянемо приклад з §3.2. Нехай початковий опорний план знайдений методом мінімального елемента. Застосуємо до цієї задачі метод потенціалів.

Побудуємо для базових клітинок систему рівнянь:

43

значенням собівартості перевезень cij , то система побудована правильно; в протилежному випадку її треба або побудувати заново, або внести в неї зміни так, щоб умова (3.7)

виконувалась.

Оскільки 25 0 , то опорний план не є оптимальним. А тому необхідно зробити перерозподіл перевезень. Будуємо цикл перерахунку (рис.3.1), починаючи з клітинки

A2 B5 , де значення величини є від’ємним. Очевидно, що перевезення у клітинці A2 B5

Рис.3.1. Рис.3.2.

можна лише збільшити, тому вибираємо знак “+”. Виберемо у від’ємних вершинах найменше базове значення: min 20, 18 18. Отже, 18. У додатних вершинах циклу додаємо число 18, а у від’ємних – віднімаємо. Результат обчислень зображено на рис. 3.2.

В результаті перерозподілу ми отримали новий невироджений опорний план, який має вигляд

44

виробництва (постачання) та потреби j -го пункту використання (призначення). Тому для

повинне компенсуватися збільшенням перевезень у сусідніх клітинках циклу. Знаки “+”

вказують на те, що об’єм перевезень повинен збільшитися, а “-“ – зменшитися. Так в останньому прикладі перевезення у вільній клітинці A2 B5 можна лише збільшити, що позначено символом “+”. Баланс перевезень буде збережено, коли вони будуть зменшені на ту саму кількість у клітинках A2 B4 і A3 B5 і збільшено у клітинці A3 B4 . Зменшення

перевезень може бути здійснене відповідно у розмірах 20 або 18 одиниць у пунктах A2 B4

і A3 B5 відповідно. Очевидно, що найменше з цих значень визначає величину змін

перевезень у циклі. Щоб число базових клітинок не змінилося, клітинку, на значення якої робиться зсув на число (клітинка A3 B5 ), робимо вільною.

Зауваження 1. Значення базових клітинок, які не брали участі в циклі перерахунку, в

новій таблиці залишаються без змін.

45

Зауваження 2. Якщо при перерахунку за циклом вільними стають декілька клітинок, що унеможливлює оцінки оптимальності плану, то вільною слід вважати одну з них ( будь-яку ), усі інші можна вважати базовими з нульовими перевезеннями.

§ 3.4. Відкрита модель транспортної задачі.

На практиці нерідко зустрічаються транспортні задачі, в яких загальна сума запасів не дорівнює загальній сумі потреб. Такі задачі називають транспортними задачами з

неправильним балансом ( відкрита модель транспортної задачі ). Розв’язують такі задачі методом потенціалів, звівши їх попередньо до відповідної задачі з правильним балансом.

46

Після вказаних перетворень в обох випадках задача зведеться до закритої моделі і буде розв’язуватися відповідним методом. В результаті розв’язування отримаємо, що витрати на перевезення вантажу реальним споживачам будуть мінімальними, а

фіктивному споживачу буде відправлено вантаж від менш вигідних постачальників.

Те саме отримаємо і по відношенню до фіктивного постачальника.

Приклад. Нехай транспортна задача задається даними:

Загальні суми запасів ai 150 80 230 і потреб b j 50 60 90 40 240

не збігаються, причому маємо другий випадок. Вводимо фіктивний пункт постачання A3

із запасами a3 240 230 10 і нульовими вартостями та складаємо початковий опорний план, наприклад, методом найменшої вартості.

47

§ 3.5. Транспортна задача за критерієм часу.

При деяких умовах, наприклад, у бойовій обстановці, при транспортуванні певних видів товарів, в аварійних ситуаціях тощо, вартість перевезення має другорядне значення,

а на перше місце виходить завдання мінімізації того часу, протягом якого здійснюються всі перевезення. Так виникає транспортна задача за критерієм часу.

Постановка транспортної задачі за критерієм часу відрізняється від транспортної задачі за критерієм вартості лише тим, що замість матриці тарифів перевезень вводять

48

загальний час перевезення всіх вантажів і компоненти якого задовольняють звичайні умови транспортної задачі

Вираз для цільової функції у математичній моделі такої задачі змінюється, оскільки

49