Lektsiyi_Ukhanska_1

двоїстих оцінок не змінювалися. Іншими словами, необхідно знайти такі інтервали зміни

компонент векторів базису, який визначає оптимальний план прямої задачі.

Визначимо інтервали стійкості двоїстих оцінок по відношенню до зміни ресурсів кожного типу для останнього прикладу. Знайдемо компоненти вектора

Якщо кількість ресурсів виду B належить вказаному інтервалові, а кількість решти видів

можна проводити вказані зміни. Для цього знайдемо

30

Отже вказані зміни у використанні сировини можна вносити ( оптимальний план двоїстої

Це означає, що значення цільової функції збільшиться на 7 одиниць, тобто можна побудувати такий план виробництва продукції, що прибуток від реалізації буде на 7

одиниць вищим від запланованого при початково заданих кількостях сировини.

Зауважимо, що збільшення кількості сировини виду C не впливає на величину прибутку,

в той час як збільшення кількості сировини виду B на 4 од. веде до збільшення значення

§ 2.3. Двоїстий симплекс-метод.

Двоїстий сипмлекс-метод використовується для знаходження розв’язку задач лінійного програмування, записаних у формі прямої задачі у випадку, коли вільні члени bi i 1, m в системі обмежень приймають довільні значення ( а не лише невід’ємні ).

Розглянемо задачу лінійного програмування при довільних значеннях bi i 1, m :

Розв’язок системи рівнянь (2.8)

31

якому значення цільової функції не зменшується.

Теорема 2. (Ознака оптимальності псевдоплану). Псевдоплан задачі (2.7)-(2.9), всі компоненти якого невід’ємні, є її оптимальним планом.

Отже, пошук розв’язку задач лінійного програмування двоїстим симплекс-методом

полягає у впорядкованому переході від однієї симплекс-таблиці до іншої, доки не буде знайдено оптимальний розв’язок, або не буде доведено, що задача немає розв’язку.

Теорема 3. (Ознака нерозв’язності задачі лінійного програмування на основі псевдо-

32

Приклад.

33

більшим по модулю є другий, то розглядаємо елементи 3-го рядка. Серед них є від’ємні.

Оптимальний план двоїстої задачі матимемо, розглянувши оцінки опорного плану

кількість першого виду сировини збільшити на 1 одиницю, то можна скласти такий опорний план, що значення цільової функції збільшиться на 2 одиниці.

34

РОЗДІЛ 3. ТРАНСПОРТНА ЗАДАЧА.

§ 3.1. Постановка транспортної задачі.

Загальні методи лінійного програмування ( симплексний, двоїстий симплексний ) в

принципі дають можливість розв’язати будь-яку задачу, проте, як правило цей розв’язок у практично важливих випадках пов’язаний зі значними обчисленнями. Тому виникає питання про виділення окремих класів задач, розв’язок яких можна отримати за допомогою пристосованих для них більш простих спеціальних методів обчислень.

Найбільш широким класом таких задач є так звані транспортні задачі.

Класична транспортна задача – це задача про найбільш економний план перевезення однорідного продукту чи взаємозамінних продуктів із пунктів виробництва в пункти споживання. Математична структура транспортної задачі характерна для великого класу задач лінійного програмування, реальний зміст яких може бути найрізноманітнішим, зовсім не пов’язаним із перевезенням вантажів. Транспортна модель широко використовується для розв’язування задач розміщення виробництва, розподілу

капіталовкладень, задачі оптимального призначення тощо.

кожному пункті постачання і скільки одиниць товару потребує кожний пункт призначення. Крім того, задана собівартість перевезень одиниці товару з кожного пункту постачання у кожний пункт призначення. Необхідно знайти найекономніший план перевезення повного обсягу товарів із пунктів виробництва в пункти призначення ( в

якості критерію оптимальності беруть як правило мінімальні затрати на перевезення всього вантажу або мінімальний час доставки вантажу).

Математична модель транспортної задачі.

Нехай

35

З економічної точки зору задача полягає в тому, що необхідно так планувати

перевезення, щоб їх загальна вартість була мінімальною. Запишемо математичну модель:

постачання, дорівнює кількості одиниць товару, що потребують пункти призначення, то виконується так звана умова балансу

Означення 1. Планом транспортної задачі називається набір величин xij i 1, m, j 1, n , який задовольняє умови (3.2)-(3.4).

36

Властивості транспортної задачі.

1.Транспортна задача (3.1)-(3.4) завжди має розв’язок, якщо виконується балансова умова (3.5).

менше, ніж m n 1 додатних величин xij , то він називається виродженим.

Означення 4. Транспортна задача називається невиродженою, якщо всі її опорні плани невироджені. Якщо хоча б один опорний план транспортної задачі є виродженим, то така задача називається виродженою.

Означення 5. Якщо виконується балансова умова (3.5), то така задача називається

збалансованою ( або транспортною задачею з правильним балансом ), а

відповідна математична модель називається закритою. Якщо умова (3.5) не виконується, то транспортна задача називається незбалансованою ( за-

дачею з неправильним балансом ). Останню можна звести до задачі з правильним балансом.

§ 3.2. Методи пошуку початкових опорних планів транспортної задачі.

Як і для інших задач лінійного програмування, ітераційний процес по пошуку оптимального плану транспортної задачі починається з деякого опорного плану. Найбільш поширеними методами пошуку початкового опорного плану транспортної задачі є метод північно-західного кута, метод мінімального елемента і метод апроксимації Фогеля. Суть всіх цих методів полягає у послідовному заповненні на протязі m n 1 кроків клітинок у

37

таблиці умов транспортної задачі. Кожна заповнена клітинка називається зайнятою або

базовою, а незаповнена – вільною. Якщо в даному розв’язку змінна xij дорівнює деякому

клітинку залишаємо вільною. Таким чином, кожному опорному розв’язкові буде відповідати m n 1 базових клітинок і mn m n 1 вільних клітинок.

1. Метод північно-західного кута ( діагональний метод ).

Заповнення таблиці починають із клітинки (1;1). На кожному кроці додатними

перевезеннями заповнюють тільки верхню ліву клітинку незаповненої частини таблиці,

поміщаючи в цю клітинку максимально можливу кількість продукту. На першому кроці

перший рядок і перший стовпчик. На першому кроці додатними перевезеннями заповнюється лише одна клітинка - (1;1).

другий рядок, або другий стовпчик, або кожний з них. Аналогічно заповнюємо всю таблицю.

Таким чином, якщо ми побудуємо невироджений опорний план транспортної задачі, то

дорівнювати нулю.

Побудований таким чином опорний план буде далеким від оптимального, оскільки при його побудові не враховувалась вартість перевезень cij .

Приклад. Знайти початковий опорний план транспортної задачі, що характеризується матрицею перевезень, заданою таблицею.

38