Lektsiyi_Ukhanska_1

Отриманий новий опорний план знову не є оптимальним і згідно з теоремою 3 переходимо до нового опорного плану. Провівши аналогічні міркування, приходимо до

ключовий елемент дорівнює 4. Остаточно отримуємо (див. останню симплекс-таблицю)

§ 1.6. Метод штучного базису пошуку початкового опорного плану (М-метод).

Якщо початковий опорний план задачі лінійного програмування не є очевидним (тобто система умов задачі не містить одиничну матрицю і не всі вільні члени невід’ємні),

то для його знаходження застосовують метод штучного базису. Ідея методу полягає в тому, що в ліву частину кожного i -го рівняння системи обмежень задачі, яка задана в канонічній формі, і не має одиничного базису, додають по одній штучній змінній

20

xn 1 , xn 2 ,..., xn m , утворюючи таким чином штучний базис. Отже, в початковій симплекс-

таблиці всі основні змінні будуть вільними і будуть дорівнювати нулю в штучному базовому розв’язку, а штучні змінні (фактичні нулі) дорівнюватимуть правим частинам системи обмежень. Вектори Pn i , (i 1, m) називаються штучними векторами, а базис,

який вони утворюють – штучним базисом. Початковий опорний план матиме вигляд

X 0 (0, 0,..., 0,b1 , b2 ,..., bm ) . Щоб знайти оптимальний план задачі, потрібно всі штучні змінні вивести з базису; якщо цього зробити не можна, маємо суперечливі умови задачі.

Побудуємо нову цільову функцію

де М – довільне велике число, і розглянемо так звану розширену задачу ( або М-задачу ):

Якщо в оптимальному плані розширеної задачі всі штучні змінні дорівнюють нулю,

то відповідний йому план вихідної задачі буде оптимальним.

Для зручності обчислень у симплекс-таблиці цільову функцію розкладають на два

доданки: перший, що залежить від основних змінних, і другий – від штучних, тобто

індексного рядка, то його можна вивести за межі рядка. Всі обчислення здійснюють на основі звичайних симплекс-перетворень. Ітераційний процес починають по m 2 -му рядку. Вектор, який потрібно ввести в базис, визначається за найбільшим по модулю від’ємним числом m 2 -го рядка. Цей процес триває доти, доки:

1. Всі штучні вектори не будуть виведені з базису.

2. Не всі штучні вектори виведені з базису, але в m 2 -му рядку немає від’ємних елементів.

У першому випадку переходимо до опорного плану вихідної задачі і ітераційний процес продовжуємо по m 1 -му рядку. У другому випадку, якщо поточне значення цільової

21

( у базис входитиме як мінімум один штучний вектор).

Зауважимо, якщо в системі обмежень вихідної задачі є декілька одиничних векторів, то їх необхідно врахувати при побудові розширеної задачі.

В цьому прикладі система обмежень не містить одиничної матриці, тому вводимо штучні змінні x5 , x6 і будуємо розширену задачу:

22

23

РОЗДІЛ 2. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ДВОЇСТОСТІ.

§ 2.1. Постановка двоїстої задачі лінійного програмування.

На прикладі задачі про одержання максимального прибутку від виготовлення різнотипної продукції з обмеженої кількості сировини можна розглянути обернену задачу:

яку мінімальну кількість різнотипної сировини потрібно для виготовлення встановленої кількості продукції різних видів. Першу задачу вважають основною (прямою), а обернену до неї – двоїстою.

З кожною задачею лінійного програмування тісно пов’язана двоїста. Розглянемо пряму задачу лінійного програмування

називається двоїстою парою. Двоїста пара називається спряженою ( симетричною ),

якщо в системі обмежень прямої задачі є лише нерівності із знаком “≤”, а в системі обмежень двоїстої задачі – лише знаки“≥”.

24

обмежень прямої задачі містить нерівності виду “≤”, то компоненти оптимального плану двоїстої задачі співпадають з відповідними числами m 1 -го рядка останньої симплекс-

таблиці вихідної задачі, які стоять у стовпцях, що відповідають додатковим змінним.

Якщо пара двоїстих задач містить дві змінні, то її можна розв’язати графічним

методом.

Приклад. Знайти розв’язки пари двоїстих задач.

Пряма задача Двоїста задача

Графічні розв’язки цих задач мають вигляд

§ 2.2. Економічна інтерпретація двоїстої задачі.

Нехай необхідно знайти оптимальний виробничий план чотирьох видів продукції,

при виготовленні яких використовують три види сировини A, B, C , щоб отримати максимум товарної продукції, і оцінити кожний вид сировини так, щоб оцінка сировини,

26

що використовується, була мінімальною, а сумарна .оцінка сировини, яка йде на виготовлення одиниці продукції кожного виду, - не меншою від ціни одиниці продукції даного виду.

Побудуємо двоїсту задачу. Оцінимо кожну одиницю використовуваних ресурсів,

які визначають максимальні виробничі можливості підприємства, тобто одиниці сировини кожного виду поставимо у відповідність умовну двоїсту оцінку: y1 , y2 , y3 .Тоді загальна

оцінка сировини, що використовується на випуск продукції, буде дорівнювати:

виготовлення одиниці продукції кожного виду, була не меншою від ціни одиниці продукції даного виду, тобто yi повинні задовольняти систему нерівностей:

27

двоїста задача полягає у визначенні оцінок одиниці кожного з ресурсів при умові їх мінімальної сумарної вартості.

Застосувавши симплекс-метод до розв’язування прямої задачі, отримаємо останню симплекс-таблицю:

го виду і 12.5 одиниць 3-го виду. При цьому залишається невикористаним 10 одиниць

Ті види сировини, які повністю використовуються при оптимальному плані виробництва, мають додатні двоїсті оцінки. Іншими словами, додатні двоїсті оцінки

оцінки вказують на скільки грошових одиниць збільшиться максимальне значення цільової функції прямої задачі при збільшенні відповідних ресурсів на одиницю. Так збільшення використання ресурсів виду A на 1 одиницю приведе до нового оптимального

виду на 1 одиницю і зменшиться кількість випущеної продукції 3-го виду на 1/2; при цьому кількість використаної сировини виду C не зміниться. (Усі ці дані ми беремо зі стовпця P5 ).

Аналогічно збільшення використання сировини виду B на 1 одиницю приведе до

28